TD : 10 Exercices Illustrés + 3 Problèmes Multi-Compétences (C1 à C5)
Exercices d'entraînement progressifs avec figures SVG + Problèmes complexes de synthèse évalués par compétences en bas de fiche.
Partie A : 10 Exercices d'Entraînement avec Figures Vectorielles
Ex 1 Rampe de Chargement d'un Camion (Sinus)
Réaliser (C3)Un camion de livraison possède une rampe arrière inclinée d'un angle $\alpha = 25^\circ$ par rapport au sol. La longueur de la rampe aluminium est $L = 3{,}50\text{ m}$ (hypoténuse).
1. Calculer la hauteur $h$ du plateau de chargement au centimètre près.
2. Écrire la formule trigonométrique utilisée (SOH).
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 1
• Formule du Sinus (SOH) : $\sin(\alpha) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{h}{L}$.
• Application numérique : $\sin(25^\circ) = \frac{h}{3{,}50} \implies h = 3{,}50 \times \sin(25^\circ)$.
• Calcul calculatrice (DEG) : $h = 3{,}50 \times 0{,}4226 \approx \mathbf{1{,}48\text{ m}}$ (soit $148\text{ cm}$).
Ex 2 Calcul de Rampant & Surface de Tuiles (Cosinus)
Modéliser (C2)Une ferme de charpente symétrique comporte deux pans inclinés à $\alpha = 32^\circ$. La largeur au sol du bâtiment est $B = 10{,}00\text{ m}$, soit une demi-largeur $b = 5{,}00\text{ m}$ (côté adjacents).
1. Calculer la longueur exacte de l'arbalétrier $R$ (hypoténuse).
2. Le bâtiment mesure $12{,}00\text{ m}$ de long. Calculer la surface totale de toiture des 2 pans.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 2
1. Formule du Cosinus (CAH) : $\cos(32^\circ) = \frac{b}{R} \implies R = \frac{5{,}00}{\cos(32^\circ)} = \frac{5{,}00}{0{,}8480} = \mathbf{5{,}90\text{ m}}$.
2. Surface de 1 pan : $S_1 = 5{,}90 \times 12{,}00 = 70{,}80\text{ m}^2$.
3. Surface totale (2 pans) : $S_{\text{tot}} = 2 \times 70{,}80 = \mathbf{141{,}60\text{ m}^2}$.
Ex 3 Pente & Angle d'une Rampe PMR (Tangente)
S'approprier (C1)Une rampe d'accès handicapé franchit une hauteur $h = 0{,}48\text{ m}$ sur une longueur horizontale $d = 8{,}00\text{ m}$.
1. Calculer la pente en percentage ($\text{Pente} = \frac{h}{d} \times 100$).
2. Calculer l'angle d'inclinaison $\alpha$ au dixième de degré près.
3. La norme exige $\text{Pente} \le 5\%$. La rampe est-elle conforme ?
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 3
1. Pente en % : $\text{Pente} = \frac{0{,}48}{8{,}00} \times 100 = \mathbf{6{,}0\%}$.
2. Calcul de l'angle (TOA) : $\tan(\alpha) = \frac{0{,}48}{8{,}00} = 0{,}06 \implies \alpha = \arctan(0{,}06) \approx \mathbf{3{,}4^\circ}$.
3. Conformité : Comme $6{,}0\% > 5\%$, la rampe est **non conforme** sans palier intermédiaire.
Ex 4 Mesure de Hauteur d'un Pylône Télécom (Théodolite)
Analyser (C2)Un technicien s'éloigne de $D = 45{,}00\text{ m}$ du pied d'un pylône télécom. À l'aide d'un viseur laser placé à une hauteur d'œil $h_{\text{œil}} = 1{,}75\text{ m}$, il mesure un angle d'élévation $\alpha = 38^\circ$.
Calculer la hauteur totale $H = h_1 + h_{\text{œil}}$ du pylône au cm près.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 4
• Hauteur supérieure $h_1$ (TOA) : $\tan(38^\circ) = \frac{h_1}{45} \implies h_1 = 45 \times \tan(38^\circ) = 45 \times 0{,}7813 = \mathbf{35{,}16\text{ m}}$.
• Hauteur totale $H$ : $H = 35{,}16 + 1{,}75 = \mathbf{36{,}91\text{ m}}$.
Ex 5 Contrôle d'Équerrage par la Règle 3-4-5 (Pythagore)
Valider (C4)Un maçon vérifie l'angle droit d'une dalle de terrasse $ABC$. Il mesure $AB = 3{,}60\text{ m}$, $BC = 4{,}80\text{ m}$ et la diagonale $AC = 6{,}00\text{ m}$.
Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer si le coin $B$ est parfaitement d'équerre.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 5
• Calcul de $AC^2$ : $6{,}00^2 = \mathbf{36{,}00}$.
• Calcul de $AB^2 + BC^2$ : $3{,}60^2 + 4{,}80^2 = 12{,}96 + 23{,}04 = \mathbf{36{,}00}$.
• Conclusion : Comme $AC^2 = AB^2 + BC^2$, d'après la réciproque de Pythagore, l'angle $\hat{B}$ est **parfaitement droit ($90^\circ$)**.
Ex 6 Inclinaison de Sécurité d'une Échelle (Réglementation BTP)
Réaliser (C3)Une échelle de chantier de $L = 5{,}20\text{ m}$ est posée contre un mur avec l'angle de sécurité réglementaire $\alpha = 75^\circ$ par rapport au sol.
1. Calculer la hauteur $H$ atteinte sur le mur.
2. Calculer la distance d'écartement au sol $d$.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 6
1. Hauteur $H$ (Sinus) : $H = 5{,}20 \times \sin(75^\circ) = 5{,}20 \times 0{,}9659 = \mathbf{5{,}02\text{ m}}$.
2. Distance $d$ (Cosinus) : $d = 5{,}20 \times \cos(75^\circ) = 5{,}20 \times 0{,}2588 = \mathbf{1{,}35\text{ m}}$.
Ex 7 Usinage Conique sur Tour Numérique (Mécanique)
Analyser (C2)Un régleur réalise une portée tronconique sur un arbre de transmission. Le grand diamètre est $D = 40\text{ mm}$, le petit diamètre $d = 28\text{ mm}$ et la longueur usinée $L = 12\text{ mm}$.
Calculer le demi-angle de cône $\alpha = \arctan\left(\frac{D-d}{2L}\right)$ en degrés au centième près.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 7
• Demi-différence des diamètres : $\Delta r = \frac{40 - 28}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ mm}$.
• Calcul de $\tan(\alpha)$ : $\tan(\alpha) = \frac{6}{12} = 0{,}5000$.
• Demi-angle $\alpha$ : $\alpha = \arctan(0{,}5000) = \mathbf{26{,}57^\circ}$ (soit $26^\circ 34'$).
Ex 8 Emprise au Sol de Panneaux Solaires (Énergie Solaire)
Réaliser (C3)Un installateur photovoltaïque pose des panneaux de longueur $P = 1{,}80\text{ m}$ inclinés à $\alpha = 35^\circ$ sur un toit terrasse.
1. Calculer la surélévation verticale $h = P \cdot \sin(35^\circ)$.
2. Calculer l'emprise horizontale au sol $e = P \cdot \cos(35^\circ)$.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 8
1. Hauteur $h$ : $h = 1{,}80 \times \sin(35^\circ) = 1{,}80 \times 0{,}5736 = \mathbf{1{,}03\text{ m}}$.
2. Emprise au sol $e$ : $e = 1{,}80 \times \cos(35^\circ) = 1{,}80 \times 0{,}8192 = \mathbf{1{,}47\text{ m}}$.
Ex 9 Hauteur d'Immeuble par les Ombres (Théorème de Thalès)
Réaliser (C3)Un piquet vertical de $h = 2{,}00\text{ m}$ projette une ombre au sol de $s = 1{,}50\text{ m}$. Au même instant, les rayons du soleil étant parallèles, un immeuble projette une ombre de $S = 18{,}00\text{ m}$.
Appliquer l'égalité de Thalès $\frac{H}{h} = \frac{S}{s}$ pour calculer la hauteur $H$ de l'immeuble.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 9
• Égalité de Thalès : $\frac{H}{2{,}00} = \frac{18{,}00}{1{,}50}$.
• Produit en croix : $H = \frac{2{,}00 \times 18{,}00}{1{,}50} = \frac{36{,}00}{1{,}50} = \mathbf{24{,}00\text{ m}}$.
Ex 10 Portée & Hauteur d'une Grue Mobile (Levage)
Communiquer (C5)Une grue mobile possède une flèche télescopique $F = 24{,}00\text{ m}$ dressée à $\alpha = 55^\circ$ par rapport au sol.
1. Calculer la hauteur sous crochet $H = F \cdot \sin(55^\circ)$.
2. Calculer la portée horizontale $P = F \cdot \cos(55^\circ)$.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 10
1. Hauteur sous crochet $H$ : $H = 24{,}00 \times \sin(55^\circ) = 24{,}00 \times 0{,}8192 = \mathbf{19{,}66\text{ m}}$.
2. Portée horizontale $P$ : $P = 24{,}00 \times \cos(55^\circ) = 24{,}00 \times 0{,}5736 = \mathbf{13{,}77\text{ m}}$.
Partie B : 3 Grands Problèmes Récapitulatifs (C1 → C5)
Conception Technico-Financière d'un Hangar Agricole
Un charpentier doit concevoir la structure d'un hangar de stockage agricole. Le cahier des charges impose les contraintes suivantes :
📋 Données du Cahier des Charges (C1) :
- Largeur totale au sol du bâtiment : $B = 14{,}00\text{ m}$ (ferme symétrique à 2 pans).
- Pente d'inclinaison minimale pour tuiles acier : $\alpha = 28^\circ$.
- Longueur totale du hangar : $L = 20{,}00\text{ m}$.
- Hauteur maximale autorisée au faîtage par le PLU local : $H_{\text{max}} = 5{,}50\text{ m}$.
- Prix de fourniture de la couverture acier : $42{,}00\text{ € / m}^2$.
Travail à Réaliser par l'Élève :
1. (C1/C2) Modélisation : Réaliser le schéma géométrique annoté d'un pan de ferme (triangle rectangle).
2. (C3) Calculs : Calculer la hauteur au faîtage $h$, la longueur du rampant d'arbalétrier $R$, la surface totale des 2 pans et le coût HT de la couverture.
3. (C4) Validation : Vérifier la conformité de la hauteur totale $h$ par rapport à la règle PLU $H_{\text{max}} = 5{,}50\text{ m}$.
4. (C5) Communication : Rédiger la conclusion technique et le devis estimatif pour le client.
Corrigé Intégral & Barème par Compétences (Problème A)
C1 (S'approprier) : Demi-largeur $b = 14 / 2 = 7{,}00\text{ m}$. Angle $\alpha = 28^\circ$. Longueur $L = 20{,}00\text{ m}$.
C2 (Analyser/Modéliser) : Le pan de toit forme un triangle rectangle de base $b=7\text{ m}$, d'angle $\alpha=28^circ$, de hauteur $h$ (opposé) et d'arbalétrier $R$ (hypoténuse).
C3 (Réaliser) :
• Hauteur $h = 7{,}00 \times \tan(28^\circ) = 7{,}00 \times 0{,}5317 = \mathbf{3{,}72\text{ m}}$.
• Rampant $R = \frac{7{,}00}{\cos(28^\circ)} = \frac{7{,}00}{0{,}8829} = \mathbf{7{,}93\text{ m}}$.
• Surface totale (2 pans) : $S = 2 \times (7{,}93 \times 20{,}00) = 2 \times 158{,}60 = \mathbf{317{,}20\text{ m}^2}$.
• Coût fourniture : $C = 317{,}20 \times 42{,}00 = \mathbf{13\,322{,}40\text{ € HT}}$.
C4 (Valider) : Comme $h = 3{,}72\text{ m} < 5{,}50\text{ m}$, le bâtiment est conforme à la réglementation PLU.
C5 (Communiquer) : "Le hangar présente une hauteur sous faîtage de 3,72 m, parfaitement conforme aux contraintes PLU. La surface de toiture est de 317,20 m² pour un budget de couverture de 13 322,40 € HT."
Conformité & Dimensionnement d'une Rampe Multi-Paliers
La mairie d'une commune souhaite aménager une rampe d'accès PMR pour un gymnase municipal. La marche à franchir est de hauteur $H = 0{,}80\text{ m}$. La réglementation impose :
📋 Normes PMR Réglementaires (C1) :
- Pente maximale autorisée : $5{,}0\%$.
- Si la longueur inclinée dépasse $10{,}00\text{ m}$, un palier de repos horizontal de $1{,}40\text{ m}$ est obligatoire.
Travail à Réaliser par l'Élève :
1. (C1/C2) : Calculer la longueur minimale au sol $d$ d'une rampe continue à $5%$.
2. (C3) : Calculer la longueur réelle de la rampe aluminium $L_{ ext{rampe}} = \sqrt{d^2 + H^2}$.
3. (C4) : Vérifier si la présence d'un palier de repos est obligatoire ($L_{ ext{rampe}} > 10\text{ m}$).
4. (C5) : Rédiger la note de contrôle de conformité pour le maître d'ouvrage.
Corrigé Intégral & Barème par Compétences (Problème B)
C1 (S'approprier) : Hauteur $H = 0{,}80\text{ m}$. Pente $p = 5\% = 0{,}05$.
C2 (Analyser) : $\text{Pente} = \frac{H}{d} \implies d = \frac{H}{0{,}05}$.
C3 (Réaliser) :
• Longueur au sol $d = \frac{0{,}80}{0{,}05} = \mathbf{16{,}00\text{ m}}$.
• Longueur rampe $L_{\text{rampe}} = \sqrt{16^2 + 0{,}8^2} = \sqrt{256 + 0{,}64} = \mathbf{16{,}02\text{ m}}$.
C4 (Valider) : Comme $L_{\text{rampe}} = 16{,}02\text{ m} > 10{,}00\text{ m}$, un palier horizontal de repos de $1{,}40\text{ m}$ est **obligatoire** à mi-parcours.
C5 (Communiquer) : "La rampe nécessite une emprise au sol de 16,00 m. Sa longueur de 16,02 m exige l'insertion d'un palier de repos de 1,40 m à 8,00 m pour garantir la conformité aux normes PMR."
Implantation d'une Centrale Photovoltaïque & Masque d'Ombre
Sur le toit terrasse d'un bâtiment industriel, un ingénieur installe des rangées de panneaux solaires de longueur $P = 2{,}00\text{ m}$ inclinés à $\alpha = 35^\circ$. Au solstice d'hiver, l'angle d'élévation du soleil le plus bas est $\beta = 20^\circ$.
📋 Contraintes Énergétiques (C1) :
- Surélévation du panneau : $h = P \cdot \sin(35^\circ)$.
- Ombre portée au sol par la rangée : $S = \frac{h}{\tan(20^\circ)}$.
- Espacement minimal entre rangées : $E = P \cdot \cos(35^\circ) + S$.
Travail à Réaliser par l'Élève :
1. (C1/C2) : Calculer la hauteur $h$ au sommet du panneau.
2. (C3) : Calculer la longueur de l'ombre au sol $S$ et l'écartement total nécessaire $E$.
3. (C4/C5) : Sur une terrasse de $30{,}00\text{ m}$ de long, déterminer le nombre maximal de rangées implantables sans ombrage.
Corrigé Intégral & Barème par Compétences (Problème C)
C1 (S'approprier) : $P = 2{,}00\text{ m}$, $\alpha = 35^\circ$, $\beta = 20^\circ$.
C3 (Réaliser) :
• Hauteur $h = 2{,}00 \times \sin(35^\circ) = 2{,}00 \times 0{,}5736 = \mathbf{1{,}15\text{ m}}$.
• Ombre $S = \frac{1{,}15}{\tan(20^\circ)} = \frac{1{,}15}{0{,}3640} = \mathbf{3{,}16\text{ m}}$.
• Emprise au sol $e = 2{,}00 \times \cos(35^\circ) = \mathbf{1{,}64\text{ m}}$.
• Espacement total par rangée $E = 1{,}64 + 3{,}16 = \mathbf{4{,}80\text{ m}}$.
C4 (Valider) : Nombre de rangées : $\frac{30{,}00}{4{,}80} = 6{,}25 \implies \mathbf{6\text{ rangées complets}}$.
C5 (Communiquer) : "L'implantation optimale sur la toiture terrasse de 30 m permet d'installer 6 rangées de panneaux solaires avec un espacement de 4,80 m, garantissant 0% d'ombrage même au solstice d'hiver."