Activités : Découverte des Ratios Trigonométriques
Découvrez pourquoi et comment les rapports de côtés dans un triangle rectangle permettent de calculer des angles et longueurs inaccessibles !
Vocabulaire du Triangle Rectangle
Avant de démarrer l'investigation, vérifiez que vous maîtrisez le nom des 3 côtés dans un triangle rectangle par rapport à l'angle considéré $\alpha$ :
Le Secret de l'Arbalétrier : Découverte du Sinus & Cosinus
Un apprenti charpentier prépare plusieurs fermes de toiture inclinées avec un même angle $\alpha = 30^\circ$. Il construit 3 triangles rectangles de tailles différentes :
| Triangle | Base $b$ (Adj) | Hauteur $h$ (Opp) | Arbalétrier $R$ (Hyp) | Rapport $h / R$ | Rapport $b / R$ |
|---|---|---|---|---|---|
| T1 (Petit) | 1,73 m | 1,00 m | 2,00 m | 1,00 / 2,00 = 0,50 | 1,73 / 2,00 = 0,866 |
| T2 (Moyen) | 3,46 m | 2,00 m | 4,00 m | 2,00 / 4,00 = 0,50 | 3,46 / 4,00 = 0,866 |
| T3 (Grand) | 5,196 m | 3,00 m | 6,00 m | 3,00 / 6,00 = 0,50 | 5,20 / 6,00 = 0,866 |
Constat Scientifique Majeur :
Quelle que soit la dimension de la charpente, tant que l'angle reste $\alpha = 30^\circ$ :
• Le rapport $\frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ vaut toujours $0{,}50$. On l'appelle **Sinus($30^circ$)**.
• Le rapport $\frac{\text{Adjacents}}{\text{Hypoténuse}}$ vaut toujours $0{,}866$. On l'appelle **Cosinus($30^circ$)**.
Franchir la Marche : Lien entre Pente % et Tangente
Un technicien d'accessibilité étudie le lien entre la pente d'une rampe au sol et l'angle d'inclinaison $\alpha$.
Définition de la Tangente (TOA) :
La pente en $%$ est définie par : $\text{Pente }\% = \frac{\text{Hauteur } h}{\text{Longueur } d} \times 100$.
Or, le rapport $\frac{\text{Hauteur (Opp)}}{\text{Longueur (Adj)}}$ correspond exactement à la **Tangente** de l'angle :
$$\tan(\alpha) = \frac{h}{d} = \frac{\text{Pente }\%}{100}$$
Exemple Pratique PMR :
Si la norme exige une pente maximale de $5\%$ :
• $\tan(\alpha) = \frac{5}{100} = 0{,}05$.
• L'angle maximum autorisé est : $\alpha = \arctan(0{,}05) \approx \mathbf{2{,}86^circ}$.
Calculer la Hauteur d'un Bâtiment Sans Escalader !
Un géomètre veut mesurer la hauteur d'un château d'eau. Il se place à $D = 40\text{ m}$ du pied et pointe le sommet avec un viseur à une hauteur d'œil $h_{\text{œil}} = 1{,}70\text{ m}$. L'angle mesuré est $\alpha = 35^\circ$.
Méthode de Calcul en 2 Étapes :
1. **Calcul de la hauteur haute $h_1$ :** $h_1 = D \times \tan(35^\circ) = 40 \times 0{,}7002 = \mathbf{28{,}01\text{ m}}$.
2. **Hauteur totale du bâtiment :** $H = h_1 + h_{\text{œil}} = 28{,}01 + 1{,}70 = \mathbf{29{,}71\text{ m}}$.
Prêt pour le Cours !
Vous avez découvert le sens physique et géométrique du Sinus, Cosinus et Tangente. Vous pouvez maintenant consulter la fiche de cours pour retenir le mnémonique officiel SOH CAH TOA et les démarches de calculs.
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