Fiche de Cours : Résolution de Problèmes du 1er Degré
Méthodes rigoureuses d'isolation de l'inconnue, résolution d'équations $ax + b = cx + d$, inéquations du 1er degré $ax + b \leqslant c$, règles de changement de sens, et résolution de problèmes professionnels avec contraintes de seuil.
Vocabulaire & Modèle de la Balance Algébrique
Définition d'une Équation du 1er Degré
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité de la forme $ax + b = 0$ (ou s'y ramenant), où $x$ représente la variable inconnue, et $a$ et $b$ sont des nombres réels donnés ($a \neq 0$).
• Le degré (1) signifie que la variable $x$ est élevée à la puissance 1 ($x^1$).
• Résoudre l'équation consiste à trouver la valeur numérique de $x$ qui rend l'égalité exacte. Cette valeur est appelée la solution.
Schéma Visuel : Modèle de la Balance Algébrique ($2x + 5 = 17$)
RÈGLE 1 : Addition & Soustraction
On ne change pas les solutions d'une égalité en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres.
$A = B \iff A + c = B + c$
RÈGLE 2 : Multiplication & Division
On ne change pas les solutions d'une égalité en multipliant ou en divisant par un même nombre non nul les deux membres.
$A = B \iff rac{A}{k} = rac{B}{k} \quad (k \neq 0)$
Méthodes de Résolution des Équations $ax + b = cx + d$
Algorithme Général de Résolution en 4 Étapes
Développer
Supprimer les parenthèses si nécessaire.
Regrouper $x$ à gauche
Transposer les termes en $x$.
Regrouper les nombres
Transposer les constantes à droite.
Isoler $x$
Diviser par le coefficient final de $x$.
Exemple Type : $7x - 9 = 2x + 16$
🔹 Soustraire $2x$ : $\quad 7x - 2x - 9 = 16 \implies 5x - 9 = 16$
🔹 Ajouter $9$ : $\quad 5x = 16 + 9 \implies 5x = 25$
🔹 Diviser par $5$ : $\quad x = rac{25}{5} \implies \mathbf{x = 5}$
Équations Produits Nuls : $(ax + b)(cx + d) = 0$
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul.
$A \times B = 0 \iff A = 0 \quad \text{ou} \quad B = 0$
Solution : $\mathbf{S} = \{-5 \;;\; 4\}$.
Inéquations du 1er Degré & Représentation des Solutions
Définition d'une Inéquation
Une inéquation du 1er degré est une inégalité comportant une inconnue $x$, utilisant l'un des 4 symboles d'inégalité :
• $<$ (strictement inférieur) $\q\quad$ • $\leqslant$ (inférieur ou égal)
• $>$ (strictement supérieur) $\q\quad$ • $\geqslant$ (supérieur ou égal)
Résoudre une inéquation consiste à trouver un **ensemble d'intervalles de valeurs** de $x$ qui satisfont l'inégalité.
RÈGLE D'OR CRUCIALE : Changement de Sens de l'Inégalité !
⚠️ Quand on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un NOMBRE NÉGATIF, LE SENS DE L'INÉGALITÉ CHANGE OBLIGATOIREMENT !
- Si $a < b$ et $k < 0$, alors $\mathbf{k \times a > k \times b}$ (Le symbole $<$ devient $>$).
- Si $-3x \leqslant 15$, alors $x \geqslant rac{15}{-3} \implies \mathbf{x \geqslant -5}$ (Le symbole $\leqslant$ devient $\geqslant$).
Résoudre $4x - 7 \leqslant 13$
$4x \leqslant 13 + 7 \implies 4x \leqslant 20$
$x \leqslant rac{20}{4} \implies \mathbf{x \leqslant 5}$
Intervalle de solutions : $\mathbf{S} = ]-\infty \;;\; 5]$
Résoudre $-2x + 9 < 19$
$-2x < 19 - 9 \implies -2x < 10$
$x > rac{10}{-2} \implies \mathbf{x > -5}$ (Changement de $<$ en $>$ !)
Intervalle de solutions : $\mathbf{S} = ]-5 \;;\; +\infty[$
Représentation Graphique des Solutions sur Droite Graduée ($x \geqslant -5$)
Inversion de Formules Techniques (Sciences & Génie Industriel)
Loi d'Ohm : $U = R \times I$
- • Calcul de $R$ : $\mathbf{R = rac{U}{I}}$
- • Calcul de $I$ : $\mathbf{I = rac{U}{R}}$
Vitesse : $v = rac{d}{t}$
- • Distance : $\mathbf{d = v \times t}$
- • Temps : $\mathbf{t = rac{d}{v}}$
Pression : $P = rac{F}{S}$
- • Force : $\mathbf{F = P \times S}$
- • Surface : $\mathbf{S = rac{F}{P}}$
Résolution de Problèmes Métier en 4 Étapes
Choix de l'inconnue
Identifier la grandeur $x$.
Mise en équation / inéquation
Traduire l'énoncé algébriquement.
Résolution
Isoler $x$ en appliquant les règles.
Conclusion & Seuil
Vérifier et répondre avec unités.
Problématique : Déterminer le Seuil de Rentabilité d'une Production
Une entreprise fabrique des composants électroniques. Le coût de fabrication hebdomadaire est $C(x) = 25x + 1200$ € (où $x$ est le nombre de pièces). Chaque composant est vendu 65 € (recette $R(x) = 65x$).
À partir de combien de pièces vendues $x$ l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ($R(x) \geqslant C(x)$) ?
Étape 1 : Soit $x$ le nombre de pièces produites et vendues.
Étape 2 : $65x \geqslant 25x + 1200$.
Étape 3 : $65x - 25x \geqslant 1200 \implies 40x \geqslant 1200 \implies x \geqslant rac{1200}{40} \implies \mathbf{x \geqslant 30}$.
Étape 4 : L'entreprise devient rentable à partir de 30 pièces produites et vendues par semaine.
Auto-Évaluation Express (Testez vos réflexes)
Vérification immédiate des connaissances Équations & Inéquations
Question 1 : Si on divise les deux membres de $-4x \leqslant 20$ par $-4$, quel est l'ensemble solution ?
Question 2 : Quelle est la solution de l'équation $(x - 4)(2x + 10) = 0$ ?