Scénarios Professionnels : Modéliser & Résoudre
Mises en situation concrètes sur les chantiers, en atelier de maintenance et en gestion d'entreprise. Apprendre à traduire un problème réel en équation algébrique $ax + b = cx + d$.
Mise au Point d'un Système de Refroidissement Moteur
Mise en Situation :
Sur un banc d'essai de maintenance industrielle, un technicien analyse le circuit hydraulique de refroidissement d'un moteur de forte puissance.
Pour garantir un fonctionnement optimal sans surchauffe, le débit total d'eau nécessaire est fixé à 2 250 Litres par heure (L/h).
Le système est alimenté par une pompe principale à débit fixe de 450 L/h et par 3 pompes auxiliaires modulables identiques. Chaque pompe auxiliaire apporte un débit supplémentaire proportionnel au régime $x$ (exprimé en % de commande).
La relation globale s'écrit : $\mathbf{120x + 450 = 2250}$.
Questions d'Investigation :
1. Que représente précisément la variable $x$ et le nombre 450 dans cette équation ?
Afficher l'indice & la réponse
$x$ représente le pourcentage de commande des pompes auxiliaires. 450 représente le débit fixe en L/h assuré par la pompe principale.
2. Isoler le terme en $x$ en retranchant 450 de chaque côté de l'égalité.
Afficher la résolution étape 1
$120x = 2250 - 450 \implies 120x = 1800$.
3. Calculer la valeur exacte de $x$ et interpréter le résultat pour le technicien.
Afficher la réponse complète
$x = rac{1800}{120} = 15$.
Conclusion : Le technicien doit régler les pompes auxiliaires à un régime de 15 %.
Découpe et Assemblage Optimisé de Profiles Acier
Mise en Situation :
Dans un atelier de sous-traitance industrielle, un chaudronnier doit fabriquer un cadre rectangulaire de structure en tube acier de longueur totale développée 320 cm.
Le cahier des charges impose que la longueur $L$ du cadre dépasse sa largeur $x$ de exactement 40 cm ($L = x + 40$).
Le périmètre de la structure s'exprime par la formule : $P = 2 imes (L + x) = 320$.
Questions d'Investigation :
1. Remplacer $L$ par $(x + 40)$ dans la formule du périmètre et montrer que cela donne l'équation $4x + 80 = 320$.
Afficher la démonstration
$P = 2(x + 40 + x) = 2(2x + 40) = 4x + 80$. Comme $P = 320$, on a bien $4x + 80 = 320$.
2. Résoudre l'équation $4x + 80 = 320$ pour déterminer la largeur $x$.
Afficher la résolution
$4x = 320 - 80 = 240 \implies x = rac{240}{4} = 60$ cm.
3. En déduire la longueur $L$ et vérifier le périmètre total.
Afficher le contrôle final
$L = 60 + 40 = 100$ cm. Vérification : $2 imes (100 + 60) = 2 imes 160 = 320$ cm. $\quad checkmark$
Comparatif Financier de Deux Prestataires Industriels
Mise en Situation :
Un responsable d'atelier doit louer une nacelle élévatrice pour des travaux de câblage en hauteur. Il consulte deux entreprises de location :
• Entreprise ALPHA : Forfait fixe de 180 € + 40 € par jour d'utilisation.
• Entreprise BÊTA : Sans forfait fixe, mais 65 € par jour d'utilisation.
On note $x$ le nombre de jours de location.
Questions d'Investigation :
1. Exprimer en fonction de $x$ le coût total $C_A(x)$ pour l'entreprise ALPHA et $C_B(x)$ pour l'entreprise BÊTA.
Afficher les expressions
$C_A(x) = 40x + 180 \quad \text{et} \quad C_B(x) = 65x$.
2. Écrire et résoudre l'équation $C_A(x) = C_B(x)$ permettant de trouver la durée pour laquelle les deux tarifs sont identiques.
Afficher la résolution complète
$40x + 180 = 65x$
$180 = 65x - 40x \implies 25x = 180 \implies x = rac{180}{25} = \mathbf{7,2 \text{ jours}}$.
3. Conseil au chef d'atelier : Quelle entreprise choisir si le chantier dure 5 jours ? Et s'il dure 10 jours ?
Afficher l'analyse d'aide à la décision
• Pour 5 jours ($x < 7,2$) : $C_A(5) = 40(5)+180 = 380$ € et $C_B(5) = 65(5) = 325$ €. Choisir BÊTA.
• Pour 10 jours ($x > 7,2$) : $C_A(10) = 400+180 = 580$ € et $C_B(10) = 650$ €. Choisir ALPHA.