La transformée de Laplace associe à une fonction temporelle $f(t)$ sa représentation symbolique complexe $F(p)$ : $$F(p) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) e^{-pt} dt$$ **Tableau des transformées usuelles :** - **Impulsion de Dirac $\delta(t)$** $\to 1$ - **Échelon $1(t)$** $\to \frac{1}{p}$ - **Rampe $t \cdot 1(t)$** $\to \frac{1}{p^2}$ - **Exponentielle $e^{-a t} \cdot 1(t)$** $\to \frac{1}{p+a}$ - **Sinus $\sin(\omega t)$** $\to \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}$ ; **Cosinus $\cos(\omega t)$** $\to \frac{p}{p^2 + \omega^2}$

- **Dérivation** : $\mathcal{L}\{f'(t)\} = p F(p) - f(0^+)$ (Transforme les équations différentielles en équations algébriques !). - **Intégration** : $\mathcal{L}\{\int_0^t f(x)dx\} = \frac{F(p)}{p}$. - **Théorème de la valeur initiale** : $\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{p \to \infty} [p F(p)]$. - **Théorème de la valeur finale** : $\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{p \to 0} [p F(p)]$.

Un système linéaire invariant est caractérisé par sa fonction de transfert $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$. - **Premier ordre** : $H(p) = \frac{K}{1 + \tau p}$ (Pulsation de coupure $\omega_c = 1/\tau$). - **Deuxième ordre** : $H(p) = \frac{K}{1 + \frac{2z}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$. - **Diagramme de Bode** : tracé en échelle logarithmique de $G_{dB}(\omega) = 20 \log_{10} |H(j\omega)|$ et $\varphi(\omega) = \arg H(j\omega)$.