Synthèse Structurée BTS Électrotechnique
Cours Référentiel BTS
1. Équations Différentielles du 1er Ordre ($a y' + b y = f(t)$)
La forme canonique s'écrit : $\tau \cdot \frac{dy}{dt} + y(t) = y_{p}$ avec constante de temps $\tau = \frac{a}{b}$.
- **Solution générale** : $y(t) = y_h(t) + y_p(t) = A \cdot e^{-t/\tau} + y_p(t)$.
- **Détermination de la constante $A$** : ajustée grâce aux conditions initiales à $t = 0^+$.
- **Cas classique de la réponse à un échelon $E$** : $y(t) = E + (y(0) - E) \cdot e^{-t/\tau}$.
- **Solution générale** : $y(t) = y_h(t) + y_p(t) = A \cdot e^{-t/\tau} + y_p(t)$.
- **Détermination de la constante $A$** : ajustée grâce aux conditions initiales à $t = 0^+$.
- **Cas classique de la réponse à un échelon $E$** : $y(t) = E + (y(0) - E) \cdot e^{-t/\tau}$.
2. Équations Différentielles du 2ème Ordre ($a y'' + b y' + c y = f(t)$)
L'équation équivalente pour un circuit R-L-C série s'écrit : $\frac{d^2 u_c}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{du_c}{dt} + \frac{1}{LC} u_c(t) = \frac{E}{LC}$.
Équation caractéristique associée : $r^2 + \frac{R}{L} r + \frac{1}{LC} = 0$, discriminant $\Delta = \left(\frac{R}{L}\right)^2 - \frac{4}{LC}$.
**3 Régimes d'amortissement :**
1. **$\Delta > 0$ (Régime Apériodique)** : Amortissement fort ($R > 2\sqrt{L/C}$). Deux racines réelles $r_1, r_2$. La tension rejoint la valeur finale sans osciller.
2. **$\Delta = 0$ (Régime Critique)** : Amortissement optimal ($R = 2\sqrt{L/C}$). Racine double $r_0 = -R/(2L)$. Retour à l'équilibre le plus rapide sans dépassement.
3. **$\Delta < 0$ (Régime Pseudo-périodique)** : Amortissement faible ($R < 2\sqrt{L/C}$). Deux racines complexes conjuguées $r = -\alpha \pm j \omega$. Oscillations amorties de pseudo-période $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
Équation caractéristique associée : $r^2 + \frac{R}{L} r + \frac{1}{LC} = 0$, discriminant $\Delta = \left(\frac{R}{L}\right)^2 - \frac{4}{LC}$.
**3 Régimes d'amortissement :**
1. **$\Delta > 0$ (Régime Apériodique)** : Amortissement fort ($R > 2\sqrt{L/C}$). Deux racines réelles $r_1, r_2$. La tension rejoint la valeur finale sans osciller.
2. **$\Delta = 0$ (Régime Critique)** : Amortissement optimal ($R = 2\sqrt{L/C}$). Racine double $r_0 = -R/(2L)$. Retour à l'équilibre le plus rapide sans dépassement.
3. **$\Delta < 0$ (Régime Pseudo-périodique)** : Amortissement faible ($R < 2\sqrt{L/C}$). Deux racines complexes conjuguées $r = -\alpha \pm j \omega$. Oscillations amorties de pseudo-période $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
Méthode BTS : Résoudre un Régime Transitoire étape par étape
Étape 1 : Poser la loi des mailles et la loi des nœuds sous forme d'équation différentielle en $y(t)$.
Étape 2 : Chercher la solution particulière $y_p(t)$ (état permanent lorsque $t \to \infty$).
Étape 3 : Déterminer l'équation caractéristique et trouver la solution homogène $y_h(t)$.
Étape 4 : Déterminer les constantes de réintégration avec les conditions initiales à $t = 0^+$.