Étude de Cas Ingénierie BTS CRI
Activités d'Ingénierie
Minimisation de la surface de tôle pour la construction d'un réservoir d'acide de volume $10 ext{ m}^3$.
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45 min
Problématique BTS CRI
Optimisation de la Tôle d'un Réservoir Cylindrique ($10 ext{ m}^3$)
Contextualisation Chaudronnerie
Un fabricant chaudronné doit réaliser un réservoir cylindrique fermé sous pression de volume fixe $V = 10 ext{ m}^3$. La surface totale de tôle utilisée est $S(r, h) = 2 pi r h + 2 pi r^2$. On cherche le rayon $r$ et la hauteur $h$ qui minimisent $S$.
Questions d'Ingénierie :
Question 1 : Exprimer la hauteur $h$ en fonction du rayon $r$ grâce à la contrainte de volume $V = pi r^2 h = 10$.
$h = \frac{10}{\pi r^2}$.
Question 2 : Injecter $h$ dans l'expression de $S$ pour obtenir $S(r)$ et calculer sa dérivée $\frac{dS}{dr}$.
$S(r) = 2 \pi r \left(\frac{10}{\pi r^2}\right) + 2 \pi r^2 = \frac{20}{r} + 2 \pi r^2$. $\frac{dS}{dr} = -\frac{20}{r^2} + 4 \pi r$.
Question 3 : Déterminer le rayon optimal $r_{opt}$, la hauteur $h_{opt}$ et la surface minimale $S_{min}$.
$\frac{dS}{dr} = 0 \implies 4 \pi r^3 = 20 \implies r_{opt} = \sqrt[3]{\frac{5}{\pi}} \approx 1,168\text{ m}$. $h_{opt} = \frac{10}{\pi (1,168)^2} = 2,335\text{ m} = 2 r_{opt}$. La forme optimale a un diamètre égal à la hauteur ($h/d = 1$) et $S_{min} \approx 25,69\text{ m}^2$.