Fiche de Travaux Dirigés : Proportionnalité & Pourcentages
Compétences mathématiques du programme officiel (Cycle 4 • 3PM)
Socle CommunExtraire les informations d'un tableau ou texte.
(D2-D4)Reconnaître un modèle de proportionnalité.
(D1-D2-D4)Lire et construire des échelles de plan.
(D1-D4-D5)Comparer des offres et justifier ses choix.
(D2-D3-D4)Appliquer le produit en croix et pourcentages.
(D1-D4)Rédiger une conclusion professionnelle claire.
(D1-D3)Partie 1 : Application directe et méthodes fondamentales
Exercice 1 Reconnaître un tableau de proportionnalité & Coefficient
Un responsable de magasin compare deux séries de données :
Tableau A : Achat de visserie
| Nombre de vis | 50 | 100 | 150 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 4 | 8 | 12 |
Tableau B : Croissance d'un arbre
| Âge (années) | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| Hauteur (m) | 1,5 | 2,5 | 3,2 |
- Lequel de ces deux tableaux est un tableau de proportionnalité ? Justifiez par les calculs des quotients.
- Pour le tableau proportionnel, déterminez la valeur exacte du coefficient de proportionnalité $k$.
Corrigé détaillé - Exercice 1 :
- Tableau A : $4 / 50 = 0,08$ ; $8 / 100 = 0,08$ ; $12 / 150 = 0,08$. Les rapports sont tous égaux à $0,08$. C'est donc un tableau de proportionnalité.
Tableau B : $1,5 / 2 = 0,75$ alors que $2,5 / 4 = 0,625 \neq 0,75$. Ce n'est pas un tableau de proportionnalité. - Coefficient $k$ : $k = 0,08\text{ € / vis}$.
Exercice 2 Pratique du Produit en Croix
En utilisant la méthode du produit en croix, déterminez la valeur inconnue $x$ dans chaque cas :
Cas A :
| 5 | 8 |
| 15 | x |
Cas B :
| x | 12 |
| 7 | 21 |
Corrigé détaillé - Exercice 2 :
- Cas A : $x = \frac{15 \times 8}{5} = \frac{120}{5} = 24$.
- Cas B : $x = \frac{7 \times 12}{21} = \frac{84}{21} = 4$.
Partie 2 : Problèmes sectoriels & Situations professionnelles
Exercice 3 Restauration Collective • Adaptation des quantités d'une recette
Un chef cuisinier dispose de la fiche technique suivante pour confectionner une tarte pour 6 personnes :
- Farine : 250 g
- Beurre : 125 g
- Sucre : 100 g
- Œufs : 2 unités
Questions :
- Recopiez et complétez le tableau d'ingrédients ci-dessous pour préparer ce dessert pour 15 personnes :
| Nombre de personnes | Farine (g) | Beurre (g) | Sucre (g) | Œufs |
|---|---|---|---|---|
| 6 personnes | 250 | 125 | 100 | 2 |
| 15 personnes | ... | ... | ... | ... |
Corrigé détaillé - Exercice 3 :
Coefficient d'agrandissement de recette : $k = 15 / 6 = 2,5$.
- Farine : $250 \times 2,5 = 625\text{ g}$.
- Beurre : $125 \times 2,5 = 312,5\text{ g}$.
- Sucre : $100 \times 2,5 = 250\text{ g}$.
- Œufs : $2 \times 2,5 = 5\text{ œufs}$.
Exercice 4 Commerce & Vente • Remise de Solde en Magasin
Un magasin de vêtements professionnels applique une réduction de 20 % sur un pantalon de travail étiqueté à 65 € HT.
- Calculez le montant en euros de la remise.
- Calculez le prix final du pantalon après réduction.
Corrigé détaillé - Exercice 4 :
- Montant de la remise : $65 \times \frac{20}{100} = 13\text{ €}$.
- Prix réduit : $65 - 13 = 52\text{ €}$.
Exercice 5 Mécanique & Facturation • Calcul du montant TTC et de la TVA
Un mécanicien automobile établit une devis de réparation d'un montant de 180 € Hors Taxes (HT). La TVA applicable est de 20 %.
- Calculez la valeur en euros de la TVA.
- Calculez le montant total TTC (Toutes Taxes Comprises) payable par le client.
Corrigé détaillé - Exercice 5 :
- Montant TVA : $180 \times 0,20 = 36\text{ €}$.
- Montant TTC : $180 + 36 = 216\text{ €}$.
Exercice 6 Bâtiment & Plan d'Architecte • Échelle 1/50
Un plan d'atelier d'ébénisterie est dessiné à l'échelle 1 / 50 ($1\text{ cm sur plan} = 50\text{ cm réels}$).
- Un établi mesure $4\text{ cm}$ sur le plan. Quelle est sa longueur réelle en cm puis en mètres ?
- Une baie vitrée mesure en réalité $2,50\text{ m}$ ($250\text{ cm}$). Quelle taille mesure-t-elle sur le plan ?
Corrigé détaillé - Exercice 6 :
- Longueur réelle : $4 \times 50 = 200\text{ cm} = 2,00\text{ m}$.
- Longueur sur le plan : $250 / 50 = 5\text{ cm}$.
Partie 3 : Tâches complexes et Sujets type Brevet PRO
Problème 7 Logistique • Vitesse moyenne et gestion des temps de livraison
Un chauffeur livreur doit effectuer un trajet de 210 km sur autoroute à la vitesse moyenne constante de 70 km/h.
- Calculez la durée du trajet en heures.
- S'il part du dépôt à 08h30, à quelle heure arrivera-t-il chez le client ?
Corrigé détaillé - Problème 7 :
- Durée : $t = 210 / 70 = 3\text{ heures}$.
- Heure d'arrivée : $08\text{h}30 + 3\text{h} = 11\text{h}30$.
Problème 8 BTP & Maçonnerie • Mélange de mortier en Ratio 1:3
Un maçon prépare du mortier selon le ratio : 1 volume de ciment pour 3 volumes de sable.
- Combien de sacs de sable doit-il mélanger s'il utilise 4 sacs de ciment ?
- Pour préparer $40\text{ kg}$ de mélange total, quelle masse de ciment et quelle masse de sable faut-il doser ?
Corrigé détaillé - Problème 8 :
- Sacs de sable : $4 \times 3 = 12\text{ sacs de sable}$.
- Ratio $1:3 \implies 1 + 3 = 4\text{ parts}$.
Masse d'une part = $40 / 4 = 10\text{ kg}$.
Ciment = $10\text{ kg}$, Sable = $30\text{ kg}$.
Problème 9 Éco-conduite • Économie de Carburant
Un véhicule consomme 8 L/100 km avant une formation d'éco-conduite. Après la formation, sa consommation baisse de 15 %.
- Calculez la nouvelle consommation en Litres aux 100 km.
- Sur un trajet annuel de $20\,000\text{ km}$, combien de Litres de carburant sont économisés ?
Corrigé détaillé - Problème 9 :
- Réduction : $8 \times 0,15 = 1,2\text{ L}$. Nouvelle consommation = $6,8\text{ L/100 km}$.
- Économie sur 20 000 km : $(20\,000 / 100) \times 1,2 = 200 \times 1,2 = 240\text{ Litres}$ d'essence économisés.
Problème 10 Sujet type Brevet DNB PRO • Comparaison de Devis Équipement Atelier
Le chef d'entreprise d'un atelier d'usinage souhaite acheter une perceuse à colonne. Deux fournisseurs proposent leurs offres :
Fournisseur A ("Brico-Pro")
Prix affiché : 250 € HT.
Remise commerciale : - 15 % immédiate
TVA applicable : 20 %
Fournisseur B ("Outillage Expert")
Prix affiché : 255 € TTC.
Aucune remise applicable.
- Pour le Fournisseur A : Calculez le prix HT après remise de 15 %.
- Pour le Fournisseur A : Calculez le montant TTC final (avec TVA 20 %).
- Chez quel fournisseur le chef d'entreprise doit-il passer commande pour payer le moins cher au final ? Justifiez par une phrase rédigée.
Corrigé détaillé - Sujet type Brevet PRO :
- Fournisseur A (Prix HT réduit) : Remise $= 250 \times 0,15 = 37,50\text{ €}$. Nouveau prix HT $= 250 - 37,50 = 212,50\text{ €}$.
- Fournisseur A (Prix TTC) : TVA $= 212,50 \times 0,20 = 42,50\text{ €}$. Prix TTC final $= 212,50 + 42,50 = 255,00\text{ €}$.
- Conclusion : Les deux fournisseurs proposent exactement le même prix final de 255,00 € TTC. Le chef d'entreprise peut choisir indifféremment l'un ou l'autre en fonction des conditions de livraison ou de garantie.