Fiche de Cours : Proportionnalité & Pourcentages
Formules officielles d'abord, puis exemples d'application contextualisés et rédigés pas à pas.
Reconnaître la Proportionnalité et Coefficient $k$
Définition du Coefficient de Proportionnalité ($k$)
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par un même nombre constant $k$, appelé coefficient de proportionnalité :
Représentation graphique : Dans un repère, une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine $(0;0)$.
Exemple d'application rédigé pas à pas : Recette de boulangerie
Un artisan boulanger prépare la pâte pour ses brioches. Pour 4 brioches, il lui faut 500 g de farine.
Étape 1 : Calcul du coefficient $k$ (masse unitaire)
$$k = \frac{500\text{ g}}{4\text{ brioches}} = 125\text{ g par brioche}$$
Étape 2 : Tableau de proportionnalité complété
| Nombre de brioches | 4 | 10 | 25 |
| Farine (g) ($\times 125$) | 500 | 1 250 | 3 125 |
Calcul de la 4ème Proportionnelle & Produit en Croix
Règle du Produit en Croix
Dans un tableau de proportionnalité à 4 cases, si trois valeurs $A, B, C$ sont connues, la quatrième valeur inconnue $x$ s'obtient en multipliant les deux nombres en diagonale et en divisant par le troisième :
Exemple d'application rédigé pas à pas : Chantier de Peinture
Un peintre en bâtiment sait que 3 Litres de peinture permettent de recouvrir 24 m². Quel volume $x$ faut-il pour 40 m² ?
Étape 1 : Schéma du tableau de proportionnalité
| 3 Litres | x Litres |
| 24 m² | 40 m² |
Étape 2 : Calcul avec produit en croix
$$x = \frac{3 \times 40}{24} = \frac{120}{24} = 5\text{ Litres}$$
Conclusion : Il faut exactement 5 Litres de peinture pour peindre 40 m².
Pourcentages, Remises Commerciales et TVA
Formules fondamentales des pourcentages
- • Appliquer $p\,\%$ à une valeur $V$ : $\text{Montant} = V \times \frac{p}{100}$
- • Prix soldé (Réduction de $p\,\%$) : $\text{Prix soldé} = V - \text{Montant de la réduction}$
- • Prix TTC (avec TVA à $20\,\%$) : $\text{Prix TTC} = \text{Prix HT} + (\text{Prix HT} \times 0,20) = \text{Prix HT} \times 1,20$
Exemple d'application rédigé pas à pas : Facture avec remise & TVA
Un outillage professionnel est affiché à 200 € HT. Le magasin offre une remise de 15 %. La TVA est de 20 %.
1. Calcul du montant de la remise (15 % sur 200 €)
$$\text{Remise} = 200 \times \frac{15}{100} = 30\text{ €}$$
2. Calcul du nouveau prix HT réduit
$$\text{Prix HT réduit} = 200 - 30 = 170\text{ €}$$
3. Calcul de la TVA (20 % sur le prix réduit)
$$\text{Montant TVA} = 170 \times 0,20 = 34\text{ €}$$
4. Prix final TTC à payer par le client
$$\text{Prix TTC} = 170 + 34 = 204\text{ €}$$
Échelles de Plans et Vitesse Moyenne
Échelle d'un plan
$$\text{Échelle} = \frac{\text{Dimension sur le plan}}{\text{Dimension réelle}} \quad (\text{même unité !})$$
Exemple : Une échelle $1/50$ signifie $1\text{ cm sur plan} = 50\text{ cm en réalité}$.
Vitesse moyenne ($v = d/t$)
$$v = \frac{d}{t} \quad \text{où } d \text{ en km et } t \text{ en heures decimales.}$$
Conversion durée : $2\text{h } 30\text{min} = 2 + \frac{30}{60} = 2,5\text{ heures}$.
Exemple d'application rédigé pas à pas : Vitesse d'un camion livreur
Un camion parcourt 180 km en une durée de 2 heures et 30 minutes ($2,5\text{ h}$). Quelle est sa vitesse moyenne ?
Étape 1 : Conversion de la durée en heures décimales
$$t = 2\text{h } 30\text{min} = 2 + \frac{30}{60} = 2,5\text{ h}$$
Étape 2 : Application de la formule de la vitesse
$$v = \frac{d}{t} = \frac{180\text{ km}}{2,5\text{ h}} = 72\text{ km/h}$$
Simulateur Interactif de Produit en Croix
Entrez 3 valeurs pour calculer automatiquement la 4ème inconnue $X$.
Détail du calcul
X = (5 × 24) ÷ 3 = 40