TD : 10 Exercices sur les Fonctions Affines & Modélisations
Ex 1 Calculs d'Images et d'Antécédents
Calculer (REA)Soit la fonction affine $f(x) = 3x - 5$.
1. Calculez l'image de 4 par $f$.
2. Calculez l'image de -2 par $f$.
3. Déterminez l'antécédent de 16 par $f$.
Corrigé rédigé :
1. $f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$.
2. $f(-2) = 3 \times (-2) - 5 = -6 - 5 = -11$.
3. $3x - 5 = 16 \implies 3x = 21 \implies x = 7$. L'antécédent de 16 est 7.
Ex 2 Facturation de Course de Taxi
Calculer (REA)Un taxi facture la prise en charge fixe à $2,50\text{ €}$ puis $1,20\text{ €}$ par km parcouru $x$. La fonction associée est $g(x) = 1,20x + 2,50$.
1. Combien coûte une course de 15 km ?
2. Si un client paye 32,50 €, quelle distance a-t-il parcourue ?
Corrigé rédigé :
1. $g(15) = 1,20 \times 15 + 2,50 = 18 + 2,50 = 20,50\text{ €}$.
2. $1,20x + 2,50 = 32,50 \implies 1,20x = 30 \implies x = 25\text{ km}$.
Ex 3 Location de Mini-Pelle BTP
Modéliser (MOD)Un loueur BTP propose un tarif $h(x) = 50x + 80$ où $x$ est la durée en jours.
1. Que représentent les nombres 50 et 80 dans le contexte métier ?
2. Calculez le coût pour 4 jours de location.
Corrigé rédigé :
1. 80 € est le forfait fixe de réservation ; 50 € est le coût par jour de location.
2. $h(4) = 50 \times 4 + 80 = 200 + 80 = 280\text{ €}$.
Ex 4 Comparaison d'Abonnements Salle de Sport
Chercher (CHER)• Formule A : $30\text{ €/mois}$ sans frais d'adhésion ($f(x) = 30x$).
• Formule B : $15\text{ €/mois} + 60\text{ €}$ d'adhésion ($g(x) = 15x + 60$).
À partir de combien de mois la Formule B devient-elle plus avantageuse ?
Corrigé rédigé :
On résout $30x = 15x + 60 \implies 15x = 60 \implies x = 4\text{ mois}$.
À partir de 5 mois, la Formule B est plus avantageuse.
Ex 5 Calcul du Coefficient Directeur $a$
Valider (VAL)Une droite représentant une fonction affine passe par les points $A(2; 7)$ et $B(5; 16)$.
1. Calculez le coefficient directeur $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
2. Déterminez l'ordonnée à l'origine $b$ et écrivez la formule de $f(x)$.
Corrigé rédigé :
1. $a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$.
2. $f(x) = 3x + b$. Comme $f(2) = 7 \implies 3 \times 2 + b = 7 \implies 6 + b = 7 \implies b = 1$.
Formule : $f(x) = 3x + 1$.
Ex 6 Intersection de Deux Droites
Représenter (REG)Soient $f(x) = 2x - 3$ et $g(x) = -x + 6$.
Calculez les coordonnées du point d'intersection des deux droites en résolvant $f(x) = g(x)$.
Corrigé rédigé :
$2x - 3 = -x + 6 \implies 3x = 9 \implies x = 3$.
Ordonnée $y = f(3) = 2 \times 3 - 3 = 3$. Point d'intersection : $(3; 3)$.
Ex 7 Salaire d'un Vendeur Automobile
Calculer (REA)Fixe de $1\,500\text{ €} + 200\text{ €}$ par voiture vendue $x$. Soit $S(x) = 200x + 1500$.
Combien de voitures doit-il vendre pour toucher $2\,700\text{ €}$ ?
Corrigé rédigé :
$200x + 1500 = 2700 \implies 200x = 1200 \implies x = 6\text{ voitures}$.
Ex 8 Vidage d'une Citerne (Pente Négative)
Communiquer (COM)Le volume restant dans une cuve de $100\text{ Litres}$ se vide à $10\text{ L/min}$ : $V(t) = -10t + 100$.
Au bout de combien de minutes la cuve sera-t-elle complètement vide ?
Corrigé rédigé :
$-10t + 100 = 0 \implies 10t = 100 \implies t = 10\text{ minutes}$.
Ex 9 Coût de Production Industrielle
Modéliser (MOD)Coût de fabrication $C(x) = 4x + 1200$ pour $x$ pièces. Calculez le coût pour 500 pièces.
Corrigé rédigé :
$C(500) = 4 \times 500 + 1200 = 2000 + 1200 = 3\,200\text{ €}$.
Ex 10 Problème Complexe DNB PRO : Choix de Tarifs de Location Utilitaires
Valider & Synthétiser (VAL)Un artisan compare 2 tarifs de location d'un camion plateau pour une journée :
• Tarif A : $0,50\text{ €}$ le km ($f(x) = 0,50x$).
• Tarif B : Forfait fixe de $40\text{ €} + 0,30\text{ €}$ le km ($g(x) = 0,30x + 40$).
1. Calculez le prix pour $100\text{ km}$ avec chaque tarif.
2. Déterminez le kilométrage pour lequel les deux tarifs sont strictement égaux.
3. Quel tarif choisir pour un trajet de $300\text{ km}$ ?
Corrigé rédigé :
1. Pour 100 km : Tarif A $= 50\text{ €}$, Tarif B $= 30 + 40 = 70\text{ €}$.
2. Égalité : $0,50x = 0,30x + 40 \implies 0,20x = 40 \implies x = 200\text{ km}$.
3. Pour 300 km : Tarif A $= 150\text{ €}$, Tarif B $= 0,30(300) + 40 = 130\text{ €}$. Choisir le Tarif B.