Fiche de Cours : Modélisation Affine $f(x) = ax + b$
Méthodes officielles de calcul d'images, d'antécédents, détermination du coefficient directeur $a$, ordonnée à l'origine $b$ et représentations graphiques (1 carreau = $1 \times 1$).
Notion de Fonction : Image & Antécédent
Définitions & Notation
Une fonction $f$ est un procédé qui, à un nombre de départ $x$, associe un unique nombre de sortie noté $f(x)$.
• $f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$.
• $x$ est un antécédent de $f(x)$ par la fonction $f$.
Représentation Graphique 1 : Lecture d'Image $f(x)$ et d'Antécédent $x$ (1 carreau = $1 \times 1$)
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Facture de Taxi)
Énoncé : Un chauffeur de taxi applique le tarif $f(x) = 2x + 3$ où $x$ est la distance parcourue en km et $f(x)$ le prix en euros.
1. Calculez l'image de 10 (prix pour 10 km).
2. Trouvez l'antécédent de 27 (distance pour une course de 27 €).
Corrigé rédigé :
1. Image de 10 : $f(10) = 2 \times 10 + 3 = 20 + 3 = 23\text{ €}$.
2. Antécédent de 27 : $2x + 3 = 27 \implies 2x = 24 \implies x = 12\text{ km}$.
Fonctions Linéaires $f(x) = ax$ & Proportionnalité
Définition Fonction Linéaire
Une fonction linéaire est une fonction de la forme :
$$f(x) = a \cdot x$$
où $a$ est un nombre fixe appelé coefficient de proportionnalité.
• Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine $(0;0)$.
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Achat de Fioul Industriel)
Énoncé : Le fioul de chauffage coûte $1,50\text{ €}$ le litre. Soit $f(x) = 1,5 x$. Calculez le coût pour $500\text{ L}$.
Corrigé rédigé :
$f(500) = 1,5 \times 500 = 750\text{ €}$.
Fonctions Affines $f(x) = ax + b$
Définition Fonction Affine
Une fonction affine est de la forme :
$$f(x) = a \cdot x + b$$
• $a$ est le coefficient directeur (détermine la pente de la droite).
• $b$ est l'ordonnée à l'origine (valeur de $f(0)$ à l'intersection avec l'axe vertical).
Représentation Graphique 2 : Pente $a = \Delta y / \Delta x$ et Ordonnée à l'Origine $b$ (1 carreau = $1 \times 1$)
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Salaire d'un Commercial)
Énoncé : Un commercial touche un fixe de $1\,400\text{ €}$ plus une commission de $150\text{ €}$ par contrat signé : $f(x) = 150x + 1400$.
Identifiez $a$ et $b$ et calculez son salaire s'il signe 6 contrats.
Corrigé rédigé :
1. Coefficient directeur $a = 150\text{ €}$ (gain par contrat). Ordonnée à l'origine $b = 1400\text{ €}$ (fixe).
2. $f(6) = 150 \times 6 + 1400 = 900 + 1400 = 2\,300\text{ €}$.
Méthodes de Calcul du Coefficient Directeur $a$
Calcul de $a$ à partir de Deux Points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$
Pour trouver le coefficient directeur $a$ d'une droite passant par deux points $A$ et $B$ : $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Calcul de Pente)
Énoncé : Une droite de coût passe par $A(2; 70)$ et $B(6; 150)$. Calculez son coefficient directeur $a$.
Corrigé rédigé :
$a = \frac{150 - 70}{6 - 2} = \frac{80}{4} = 20$. Le tarif unitaire est de $20\text{ €/unité}$.
Simulateur & Graphique Orthonormé (1 carreau = $1 \times 1$)
• Formule : f(x) = 2x + 3
• Echelle : 1 carreau = 1 unité × 1 unité
• Ordonnée $b$ : 3
• Antécédent de 0 : x = -1.5