TD : 10 Exercices Métier sur les Statistiques à 1 Variable
Ex 1 Bac Pro Commerce / Gestion : Moyenne Pondérée des Ventes
RéaliserUn vendeur en magasin réalise les ventes suivantes durant une journée :
- 3 articles à 15 €
- 5 articles à 20 €
- 2 articles à 50 €
1. Déterminez l'effectif total $N$ d'articles vendus.
2. Calculez le prix moyen d'un article vendu $\bar{x}$.
Corrigé rédigé :
1. Effectif total $N = 3 + 5 + 2 = 10$ articles.
2. Prix moyen : $\bar{x} = \frac{(3 \times 15) + (5 \times 20) + (2 \times 50)}{10} = \frac{45 + 100 + 100}{10} = \frac{245}{10} = \mathbf{24,50\ \text{€}}$.
Ex 2 Bac Pro BTP : Étendue d'un Relevé de Températures de Séchage
RéaliserSur un chantier de bétonnage, les températures relevées toutes les 2 heures durant la prise du béton sont :
$12^\circ\text{C}, 15^\circ\text{C}, 18^\circ\text{C}, 22^\circ\text{C}, 14^\circ\text{C}, 25^\circ\text{C}, 19^\circ\text{C}$.
1. Identifiez la température minimale et la température maximale.
2. Calculez l'étendue $E$.
Corrigé rédigé :
1. Température minimale = $12^\circ\text{C}$, Maximale = $25^\circ\text{C}$.
2. Étendue $E = T_{\text{max}} - T_{\text{min}} = 25 - 12 = \mathbf{13^\circ\text{C}}$.
Ex 3 Bac Pro Usinage / Mécanique : Diamètre Moyen de Rondelles
S'approprier & RéaliserVoici le tableau des mesures de diamètres $x_i$ (en mm) sur un échantillon de 40 rondelles usinées :
| Diamètre $x_i$ (mm) | 19,8 | 19,9 | 20,0 | 20,1 | 20,2 | Total $N$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ | 4 | 10 | 18 | 6 | 2 | 40 |
1. Calculez le produit total $\sum n_i x_i$.
2. Calculez le diamètre moyen $\bar{x}$.
Corrigé rédigé :
1. $\sum n_i x_i = (4 \times 19,8) + (10 \times 19,9) + (18 \times 20,0) + (6 \times 20,1) + (2 \times 20,2) = 79,2 + 199 + 360 + 120,6 + 40,4 = \mathbf{799,2\ \text{mm}}$.
2. Diamètre moyen $\bar{x} = \frac{799,2}{40} = \mathbf{19,98\ \text{mm}}$.
Ex 4 Bac Pro Restauration : Médiane du Temps de Service
Analyser & RaisonnerUn responsable de salle relève la durée de service (en minutes) de 9 tables lors du déjeuner :
38, 25, 42, 30, 28, 55, 35, 40, 32.
1. Ordonnez la série par ordre croissant.
2. Déterminez la médiane $Me$ et interprétez ce résultat pour le restaurant.
Corrigé rédigé :
1. Série ordonnée : 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40, 42, 55.
2. Comme $N = 9$ (impair), la médiane est la $5^{\text{ème}}$ valeur : $Me = \mathbf{35\ \text{minutes}}$.
Interprétation : 50% des tables ont été servies en moins de 35 minutes, et 50% ont demandé plus de 35 minutes.
Ex 5 Bac Pro Logistique : Groupement par Classes et Centres de Classes
RéaliserDans un entrepôt, la masse $m$ (en kg) de 50 colis est regroupée dans le tableau ci-dessous :
| Classe de masse (kg) | [0 ; 5[ | [5 ; 10[ | [10 ; 15[ | [15 ; 20[ |
|---|---|---|---|---|
| Centre de classe $x_i$ | ? | ? | ? | ? |
| Effectif $n_i$ | 10 | 20 | 15 | 5 |
1. Déterminez les centres de chaque classe $x_i$.
2. Calculez la masse moyenne d'un colis $\bar{x}$.
Corrigé rédigé :
1. Centres de classes : $x_1 = 2,5$, $x_2 = 7,5$, $x_3 = 12,5$, $x_4 = 17,5$.
2. Masse moyenne : $\bar{x} = \frac{(10 \times 2,5) + (20 \times 7,5) + (15 \times 12,5) + (5 \times 17,5)}{50} = \frac{25 + 150 + 187,5 + 87,5}{50} = \frac{450}{50} = \mathbf{9\ \text{kg}}$.
Ex 6 Bac Pro Contrôle Qualité : Lecture d'une Boîte à Moustaches
AnalyserLe diagramme ci-contre représente la pression (en bar) de 100 pneumatiques contrôlés :
1. Relevez $x_{\text{min}}, Q_1, Me, Q_3, x_{\text{max}}$.
2. Calculez l'écart interquartile $IQR = Q_3 - Q_1$.
Corrigé rédigé :
1. $x_{\text{min}} = 2,0\ \text{bar}$, $Q_1 = 2,2\ \text{bar}$, $Me = 2,4\ \text{bar}$, $Q_3 = 2,5\ \text{bar}$, $x_{\text{max}} = 2,8\ \text{bar}$.
2. $IQR = Q_3 - Q_1 = 2,5 - 2,2 = \mathbf{0,3\ \text{bar}}$.
Ex 7 Bac Pro Electrotechnique : Effet d'une Valeur Aberrante
ValiderUn technicien mesure la consommation électrique (en kWh) d'un atelier sur 5 jours :
120, 125, 118, 122, 450 (le jour 5 correspond à un court-circuit exceptionnel).
1. Calculez la moyenne $\bar{x}$ et la médiane $Me$.
2. Quel indicateur reflète le mieux la consommation habituelle de l'atelier ? Justifiez.
Corrigé rédigé :
1. Moyenne $\bar{x} = \frac{120 + 125 + 118 + 122 + 450}{5} = \frac{935}{5} = \mathbf{187\ \text{kWh}}$.
Série ordonnée : 118, 120, 122, 125, 450 $\Rightarrow$ Médiane $Me = \mathbf{122\ \text{kWh}}$.
2. La médiane ($122\ \text{kWh}$) est bien plus représentative car la moyenne est fortement faussée par la valeur aberrante ($450\ \text{kWh}$).
Ex 8 Bac Pro Sécurité & Prévention : Effectifs Cumulés Croissants (ECC)
S'approprier & RéaliserUn responsable sécurité étudie le nombre d'incidents légers par mois sur une période de 20 mois :
| Nbr incidents $x_i$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ | 6 | 8 | 4 | 2 |
| ECC | 6 | 14 | 18 | 20 |
Grâce à la ligne des ECC, déterminez la médiane $Me$ et le premier quartile $Q_1$.
Corrigé rédigé :
• $N = 20$. Rang $N/4 = 5 \Rightarrow Q_1$ est la $5^{\text{ème}}$ valeur. D'après les ECC, les 6 premières valeurs sont 0, donc $\mathbf{Q_1 = 0}$.
• Rang $N/2 = 10 \Rightarrow Me$ est entre la $10^{\text{ème}}$ et la $11^{\text{ème}}$ valeur. Comme les ECC atteignent 14 pour $x_i = 1$, la médiane est $\mathbf{Me = 1}$.
Ex 9 Bac Pro Agroalimentaire : Contrôle de Conformité des Sachets
ValiderUn technicien pèse un lot de sachets de sucre dont le poids nominal théorique est de 250 g. La norme impose :
- La masse moyenne $\bar{x}$ doit appartenir à l'intervalle $[248\text{ g} ; 252\text{ g}]$.
- L'étendue $E$ ne doit pas dépasser $6\text{ g}$.
Voici le relevé de 5 sachets : 246 g, 251 g, 249 g, 252 g, 248 g.
Le lot contrôlé est-il conforme ? Justifiez par deux calculs.
Corrigé rédigé :
• Moyenne $\bar{x} = \frac{246 + 251 + 249 + 252 + 248}{5} = \frac{1246}{5} = \mathbf{249,2\ \text{g}}$. Elle appartient bien à $[248 ; 252]$.
• Étendue $E = 252 - 246 = \mathbf{6\ \text{g}}$. Elle ne dépasse pas 6 g.
Conclusion : Le lot est conforme aux exigences de l'usine.
Ex 10 Grand Problème de Synthèse : Comparaison de 2 Lignes de Production
Communiquer & ValiderLe chef d'atelier d'une entreprise industrielle souhaite remplacer sa ligne de production Ligne A par une nouvelle Ligne B plus moderne. Il enregistre l'épaisseur (en mm) de 100 pièces produites par chaque machine.
$\bar{x}_A = 10,0\ \text{mm}$ | $Me_A = 10,0\ \text{mm}$
$Q_1 = 9,6\ \text{mm}$ | $Q_3 = 10,4\ \text{mm}$ | Étendue $E_A = 1,6\ \text{mm}$
$\bar{x}_B = 10,0\ \text{mm}$ | $Me_B = 10,0\ \text{mm}$
$Q_1 = 9,9\ \text{mm}$ | $Q_3 = 10,1\ \text{mm}$ | Étendue $E_B = 0,4\ \text{mm}$
1. Comparez les moyennes et médiennes des deux lignes.
2. Comparez les écarts interquartiles $IQR_A$ et $IQR_B$.
3. Rédigez un court compte-rendu au chef d'atelier pour lui conseiller quelle machine utiliser afin d'assurer un contrôle qualité optimal.
Corrigé rédigé du Problème de Synthèse :
1. Les deux lignes ont la même moyenne ($\bar{x} = 10,0\ \text{mm}$) et la même médiane ($Me = 10,0\ \text{mm}$). En termes de centrage, elles sont équivalentes.
2. $IQR_A = 10,4 - 9,6 = 0,8\ \text{mm}$ alors que $IQR_B = 10,1 - 9,9 = 0,2\ \text{mm}$. L'étendue de la Ligne B ($E_B = 0,4\ \text{mm}$) est également 4 fois plus faible que celle de la Ligne A ($1,6\ \text{mm}$).
3. Bilan Rédigé pour le Chef d'Atelier :
"Bien que les deux machines produisent des pièces centrées sur la cible de 10,0 mm, la Ligne B est nettement supérieure. Sa dispersion est très faible (boîte interquartile resserrée à 0,2 mm contre 0,8 mm pour la Ligne A). La Ligne B offre donc une régularité de fabrication bien plus élevée et réduit considérablement le risque de pièces hors tolérance."