Éducation Nationale • Évaluation de 2nde Professionnelle
Évaluation Summative : Statistiques à 1 Variable (Sujets A & B)
S'approprier (4 pts) Extraire les données
Analyser (4 pts) Choisir la méthode
Réaliser (6 pts) Calculer x̄, Me, E
Valider (3 pts) Tester la conformité
Communiquer (3 pts) Rédiger la conclusion
Sujet A
Barème : /20 Points
Contrôle Qualité de Pièces Mécaniques Usinées
Un technicien supérieur contrôle le diamètre $x_i$ (en mm) d'un lot de $N = 50$ axes usinés pour le secteur automobile. Le cahier des charges impose :
• Diamètre moyen cible : $\bar{x} = 25,00\ \text{mm} \pm 0,05\ \text{mm}$ (soit entre $24,95\ \text{mm}$ et $25,05\ \text{mm}$).
• Étendue maximale tolérée : $E \le 0,20\ \text{mm}$.
• Étendue maximale tolérée : $E \le 0,20\ \text{mm}$.
| Diamètre $x_i$ (mm) | 24,90 | 24,95 | 25,00 | 25,05 | 25,10 | Total $N$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ (pièces) | 5 | 12 | 20 | 10 | 3 | 50 |
Questions :
- (6 pts) [Réaliser] Complétez la ligne des produits $n_i \times x_i$, puis calculez la somme totale et le diamètre moyen $\bar{x}$.
- (4 pts) [S'approprier] Déterminez le diamètre minimal $x_{\text{min}}$ et le diamètre maximal $x_{\text{max}}$. Calculez l'étendue $E$.
- (4 pts) [Analyser] À l'aide de l'effectif total $N = 50$, trouvez le rang du terme médian et déduisez la médiane $Me$.
- (6 pts) [Valider & Communiquer] Le lot de 50 axes est-il conforme au cahier des charges ? Rédigez une réponse argumentée.
Corrigé Officiel Sujet A (20/20) :
- $\sum n_i x_i = (5 \times 24,90) + (12 \times 24,95) + (20 \times 25,00) + (10 \times 25,05) + (3 \times 25,10) = 124,5 + 299,4 + 500 + 250,5 + 75,3 = \mathbf{1\ 249,7\ \text{mm}}$.
Moyenne : $\bar{x} = \frac{1249,7}{50} = \mathbf{24,994\ \text{mm}}$ (soit environ $25,00\ \text{mm}$). (6 pts) - $x_{\text{min}} = 24,90\ \text{mm}$, $x_{\text{max}} = 25,10\ \text{mm} \Rightarrow E = 25,10 - 24,90 = \mathbf{0,20\ \text{mm}}$. (4 pts)
- $N/2 = 25 \Rightarrow$ La médiane $Me$ est la valeur entre le 25e et 26e axe. D'après les effectifs cumulés (5, 17, 37...), les 25e et 26e pièces ont un diamètre de $25,00\ \text{mm}$. Donc $\mathbf{Me = 25,00\ \text{mm}}$. (4 pts)
- Conclusion : $\bar{x} = 24,994\ \text{mm} \in [24,95 ; 25,05]$ et $E = 0,20\ \text{mm} \le 0,20\ \text{mm}$. Les deux critères sont validés, **le lot est conforme** ! (6 pts)
Sujet B
Barème : /20 Points
Analyse des Temps de Livraison E-Commerce
Une plateforme logistique mesure le délai d'acheminement $t$ (en jours) de $N = 100$ colis expédiés en France. Les données sont regroupées en classes d'amplitude 1 jour :
| Délai $t$ (jours) | [1 ; 2[ | [2 ; 3[ | [3 ; 4[ | [4 ; 5[ | Total $N$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Centre de classe $x_i$ | 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | - |
| Effectif $n_i$ (colis) | 45 | 35 | 15 | 5 | 100 |
Questions :
- (6 pts) [Réaliser] Calculez le délai moyen de livraison estimé $\bar{x}$.
- (4 pts) [S'approprier] Quelle est la classe modale (la classe de plus fort effectif) ?
- (4 pts) [Analyser] Dans quelle classe se situe le délai médian $Me$ ? Justifiez.
- (6 pts) [Valider & Communiquer] L'entreprise garantit "au moins 80% des colis livrés en moins de 3 jours". Cet engagement est-il tenu ? Justifiez par un calcul de fréquence.
Corrigé Officiel Sujet B (20/20) :
- $\sum n_i x_i = (45 \times 1,5) + (35 \times 2,5) + (15 \times 3,5) + (5 \times 4,5) = 67,5 + 87,5 + 52,5 + 22,5 = \mathbf{230\ \text{jours}}$.
Délai moyen : $\bar{x} = \frac{230}{100} = \mathbf{2,30\ \text{jours}}$. (6 pts) - La classe modale est [1 ; 2[ avec un effectif record de 45 colis. (4 pts)
- $N = 100 \Rightarrow N/2 = 50$. Les 45 premiers colis sont dans [1 ; 2[. Le 50e colis est donc dans la classe [2 ; 3[, où se trouve la médiane $Me$. (4 pts)
- Les colis livrés en moins de 3 jours sont ceux de [1 ; 2[ et [2 ; 3[, soit $45 + 35 = 80$ colis sur 100 (soit 80%). **L'engagement est donc parfaitement tenu** ! (6 pts)