Cours - Statistiques à une variable 2nde Pro

I Vocabulaire et Notations

Définitions Fondamentales

Population : L'ensemble étudié (ex: un lot de pièces, les clients d'un magasin).
Individu : Un élément de cette population (ex: une pièce usinée).
Caractère (ou Variable) : La particularité étudiée (ex: le diamètre en mm).
Effectif Total ($N$) : Le nombre total d'individus de la population.

Variable Discrète

Prend des valeurs isolées (souvent entières).
Ex: Nombre d'enfants, nombre de défauts par pièce (0, 1, 2, 3...).

Variable Continue

Prend n'importe quelle valeur dans un intervalle (classe).
Ex: Taille (cm), Poids (kg), Salaire (€). Regroupement en classes ex: [10 ; 15[.

II Indicateurs de Position (Moyenne, Médiane)

La Moyenne Pondérée $\bar{x}$ (x barre)

La moyenne d'une série statistique s'obtient en additionnant toutes les valeurs multipliées par leur effectif, puis en divisant par l'effectif total $N$.

$$ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_p x_p}{N} = \frac{\sum (n_i \times x_i)}{N} $$

Note : Pour une série regroupée en classes (variable continue), on utilise le centre de classe comme valeur $x_i$. (Ex: Centre de [10; 20[ = 15).

La Médiane $Me$

La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif (50% en dessous, 50% au-dessus). Elle est très utile car, contrairement à la moyenne, elle n'est pas influencée par les valeurs extrêmes.

Exemple : Notes d'un élève

Série brute non ordonnée : 14, 5, 12, 11, 15.

Moyenne : $\bar{x} = \frac{14+5+12+11+15}{5} = \frac{57}{5} = 11,4$.
Médiane : On ordonne d'abord : 5, 11, 12, 14, 15. La valeur centrale est $Me = 12$.

III Indicateurs de Dispersion & Boîte à Moustaches

Les indicateurs de position ne suffisent pas toujours (deux machines peuvent avoir la même moyenne mais l'une peut produire des pièces avec beaucoup plus de défauts variables). On utilise donc des indicateurs de dispersion pour mesurer l'écartement des valeurs.

L'Étendue ($E$)

C'est la différence entre la plus grande valeur ($x_{max}$) et la plus petite valeur ($x_{min}$) de la série.

E = x_{max} - x_{min}

Les Quartiles ($Q_1$ et $Q_3$)

$Q_1$ (1er Quartile) : Valeur telle qu'au moins 25% des valeurs lui sont inférieures ou égales.
$Q_3$ (3ème Quartile) : Valeur telle qu'au moins 75% des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Écart interquartile = $Q_3 - Q_1$.

Le Diagramme en Boîte (Boîte à Moustaches / Box Plot)

Ce diagramme résume visuellement la série grâce à 5 valeurs clés : $x_{min}, Q_1, Me, Q_3, x_{max}$.

Plus la boîte (entre Q1 et Q3) est resserrée, plus les valeurs sont concentrées autour de la médiane (faible dispersion, forte régularité).

Statistiques à une Variable