TD : 10 Exercices de Volumes Corrigés
Exercices gradués sur les calculs d'aires, volumes de solides usuels, solides composés, masse volumique et problèmes d'atelier.
Effectuer les conversions d'unités suivantes :
a) $4,2 \text{ m}^3 = \dots \text{ Litres}$
b) $750 \text{ cm}^3 = \dots \text{ Litres}$
c) $0,085 \text{ m}^3 = \dots \text{ dm}^3$
d) $12,5 \text{ Litres} = \dots \text{ cm}^3$
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a) $4,2 \text{ m}^3 = 4,2 \times 1000 = \mathbf{4\,200 \text{ L}}$.
b) $750 \text{ cm}^3 = 750 \text{ mL} = \mathbf{0,75 \text{ L}}$.
c) $0,085 \text{ m}^3 = 0,085 \times 1000 = \mathbf{85 \text{ dm}^3}$.
d) $12,5 \text{ L} = 12,5 \text{ dm}^3 = 12,5 \times 1000 = \mathbf{12\,500 \text{ cm}^3}$.
Un caisson métallique parallélépipédique a pour dimensions $L = 2,5 \text{ m}$, $l = 1,2 \text{ m}$ et $h = 0,8 \text{ m}$.
1. Calculer son volume en $\text{m}^3$ puis en Litres.
2. Calculer l'aire totale de sa surface extérieure à peindre.
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1. $V = 2,5 \times 1,2 \times 0,8 = \mathbf{2,4 \text{ m}^3} = \mathbf{2\,400 \text{ Litres}}$.
2. $A_{\text{tot}} = 2(2,5 \times 1,2 + 2,5 \times 0,8 + 1,2 \times 0,8) = 2(3 + 2 + 0,96) = 2 \times 5,96 = \mathbf{11,92 \text{ m}^2}$.
Un fût cylindrique a un rayon $R = 40 \text{ cm}$ et une hauteur $h = 90 \text{ cm}$.
Calculer son volume en $\text{cm}^3$, puis sa capacité en Litres (arrondir au dixième).
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• $V = \pi \times R^2 \times h = \pi \times 40^2 \times 90 = 144\,000 \pi \approx \mathbf{452\,389,3 \text{ cm}^3}$.
• En Litres ($1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3$) : $V \approx \mathbf{452,4 \text{ Litres}}$.
Un prisme droit de hauteur $h = 50 \text{ cm}$ a pour base un triangle rectangle de base $b = 12 \text{ cm}$ et hauteur $h_b = 9 \text{ cm}$.
Calculer l'aire de la base $A_{\text{base}}$ puis le volume $V$ du prisme en $\text{cm}^3$.
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• $A_{\text{base}} = \frac{12 \times 9}{2} = \mathbf{54 \text{ cm}^2}$.
• $V = A_{\text{base}} \times h = 54 \times 50 = \mathbf{2\,700 \text{ cm}^3} = \mathbf{2,7 \text{ dm}^3}$.
Une trémie conique a un rayon de base $R = 1,5 \text{ m}$ et une hauteur $h = 2,4 \text{ m}$.
Calculer son volume utile en $\text{m}^3$.
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• $V = \frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h = \frac{1}{3} \times \pi \times 1,5^2 \times 2,4 = 1,8 \pi \approx \mathbf{5,655 \text{ m}^3}$.
Un réservoir sphérique de gaz a un diamètre $D = 3 \text{ m}$ ($R = 1,5 \text{ m}$).
Calculer son aire extérieure $A$ et son volume $V$ en $\text{m}^3$.
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• $A = 4 \pi R^2 = 4 \pi (1,5)^2 = 9 \pi \approx \mathbf{28,274 \text{ m}^2}$.
• $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (1,5)^3 = 4,5 \pi \approx \mathbf{14,137 \text{ m}^3}$.
Une citerne routière est formée d'un cylindre central de longueur $h = 4 \text{ m}$ et de rayon $R = 0,8 \text{ m}$, fermé par deux demi-sphères de même rayon $R = 0,8 \text{ m}$.
Calculer le volume total de la citerne en $\text{m}^3$ puis sa capacité en Litres.
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• Volume Cylindre : $V_{\text{cyl}} = \pi (0,8)^2 \times 4 = 2,56 \pi \approx 8,0425 \text{ m}^3$.
• Volume 2 demi-sphères (1 sphère) : $V_{\text{sph}} = \frac{4}{3} \pi (0,8)^3 \approx 2,1447 \text{ m}^3$.
• Volume total : $V_{\text{tot}} = 8,0425 + 2,1447 = \mathbf{10,1872 \text{ m}^3} = \mathbf{10\,187,2 \text{ Litres}}$.
Un bloc d'aluminium ($\rho = 2,7 \text{ kg/dm}^3$) de forme parallélépipédique ($20 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}$) est percé de part en part par un trou cylindrique de diamètre $D = 4 \text{ cm}$ ($R = 2 \text{ cm}$) sur la hauteur de $8 \text{ cm}$.
1. Calculer le volume brut du bloc et le volume du trou cylindrique.
2. En déduire la masse nette de la pièce finale.
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1. $V_{\text{brut}} = 20 \times 10 \times 8 = 1\,600 \text{ cm}^3 = 1,6 \text{ dm}^3$.
2. $V_{\text{trou}} = \pi \times 2^2 \times 8 = 32 \pi \approx 100,53 \text{ cm}^3 = 0,1005 \text{ dm}^3$.
3. $V_{\text{net}} = 1,6 - 0,1005 = \mathbf{1,4995 \text{ dm}^3}$.
4. $m = \rho \times V_{\text{net}} = 2,7 \times 1,4995 = \mathbf{4,048 \text{ kg}}$.
Un réservoir d'essence parallélépipédique sur un véhicule utilitaire mesure $L = 80 \text{ cm}$, $l = 45 \text{ cm}$ et $h = 25 \text{ cm}$.
1. Calculer la capacité du réservoir en Litres.
2. Si le véhicule consomme $6,5 \text{ Litres}$ aux $100 \text{ km}$, quelle est son autonomie maximale en km ?
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1. $V = 80 \times 45 \times 25 = 90\,000 \text{ cm}^3 = \mathbf{90 \text{ Litres}}$.
2. Autonomie : $\frac{90}{6,5} \times 100 \approx \mathbf{1\,384,6 \text{ km}}$.
Pour poser une canalisation, on creuse une tranchée de longueur $L = 50 \text{ m}$, largeur $l = 1,2 \text{ m}$ et profondeur $h = 1,8 \text{ m}$.
1. Calculer le volume de la tranchée $V_{\text{tranchée}}$ en $\text{m}^3$.
2. La terre remuée foisonne (son volume augmente de 25 %, facteur $1,25$). Calculer le volume de terre à évacuer.
3. Combien de camions benne de $10 \text{ m}^3$ faut-il prévoir ?
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1. $V = 50 \times 1,2 \times 1,8 = \mathbf{108 \text{ m}^3}$.
2. $V_{\text{foisonné}} = 108 \times 1,25 = \mathbf{135 \text{ m}^3}$.
3. Camions : $\frac{135}{10} = 13,5 \implies$ **14 camions benne**.