Scénarios Professionnels : Volumes & Surfaçage
Trois enquêtes techniques sur la cuve inox de stockage, la cylindrée d'un moteur thermique et le dimensionnement de béton de fondation.
Dimensionnement d'une Cuve Cylindrique à Dôme Conique
Mise en Situation :
Un technicien chaudronnier doit fabriquer un réservoir d'huile constitué d'un cylindre vertical de rayon $R = 1,2 \text{ m}$ et de hauteur $h_1 = 3 \text{ m}$, surmonté d'un dôme conique de même rayon $R = 1,2 \text{ m}$ et de hauteur $h_2 = 1,5 \text{ m}$.
• Masse volumique de l'huile : $\rho = 0,9 \text{ kg/L}$.
• Prix de la tôle inox : $45 \text{ €/m}^2$.
Questions d'Investigation :
1. Calculer le volume de la partie cylindrique $V_1$ en $\text{m}^3$.
Consulter le corrigé
$V_1 = \pi \times 1,2^2 \times 3 = 4,32 \pi \approx \mathbf{13,572 \text{ m}^3}$.
2. Calculer le volume de la partie conique $V_2$ en $\text{m}^3$.
Consulter le corrigé
$V_2 = \frac{1}{3} \pi \times 1,2^2 \times 1,5 = 0,72 \pi \approx \mathbf{2,262 \text{ m}^3}$.
3. En déduire la capacité totale de la cuve en Litres.
Consulter le corrigé
$V_{\text{tot}} = 13,572 + 2,262 = \mathbf{15,834 \text{ m}^3} = \mathbf{15\,834 \text{ Litres}}$.
4. Calculer la masse totale d'huile lorsque la cuve est totalement remplie.
Consulter le corrigé
$m = \rho \times V = 0,9 \times 15\,834 = \mathbf{14\,250,6 \text{ kg}} = \mathbf{14,25 \text{ tonnes}}$.
5. Calculer la génératrice $a$ du cône ($a = \sqrt{R^2 + h_2^2}$), puis l'aire latérale totale de tôle inox à découper.
Consulter le corrigé
• Génératrice : $a = \sqrt{1,2^2 + 1,5^2} = \sqrt{1,44 + 2,25} = \sqrt{3,69} \approx \mathbf{1,921 \text{ m}}$.
• Aire latérale Cylindre : $A_1 = 2\pi \times 1,2 \times 3 = 7,2\pi \approx \mathbf{22,619 \text{ m}^2}$.
• Aire latérale Cône : $A_2 = \pi \times 1,2 \times 1,921 \approx \mathbf{7,242 \text{ m}^2}$.
• Aire totale : $A_{\text{tot}} = 22,619 + 7,242 = \mathbf{29,861 \text{ m}^2}$.
Calcul de Cylindrée d'un Moteur 4 Cylindres en Ligne
Mise en Situation :
Un mécanicien analyse la fiche technique d'un moteur 4 cylindres :
• Alésage (diamètre du cylindre) : $D = 82 \text{ mm} = 8,2 \text{ cm}$.
• Course (hauteur de déplacement du piston) : $L = 93,5 \text{ mm} = 9,35 \text{ cm}$.
Questions d'Investigation :
1. Calculer le rayon $R$ du piston en cm.
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$R = \frac{D}{2} = \frac{8,2}{2} = \mathbf{4,1 \text{ cm}}$.
2. Calculer le volume unitaire d'un cylindre $V_{\text{unit}}$ en $\text{cm}^3$.
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$V_{\text{unit}} = \pi \times 4,1^2 \times 9,35 \approx \mathbf{493,8 \text{ cm}^3}$.
3. Calculer la cylindrée totale du moteur en $\text{cm}^3$ puis la convertir en Litres.
Afficher la réponse
$V_{\text{tot}} = 493,8 \times 4 = \mathbf{1\,975,2 \text{ cm}^3} \approx \mathbf{2,0 \text{ Litres}}$ (Appellation commerciale Moteur 2.0L).
Volume de Béton Armé pour Fondations de Piliers & Dalle
Mise en Situation :
Un chef de chantier doit commander du béton prêt à l'emploi pour couler 8 piliers prismatiques de section carrée de côté $c = 0,4 \text{ m}$ et de hauteur $h = 3 \text{ m}$, ainsi qu'une dalle rectangulaire de $12 \text{ m} \times 8 \text{ m}$ sur une épaisseur de $0,15 \text{ m}$.
• Capacité d'un camion malaxeur (toupie) : $7 \text{ m}^3$.
• Prix du béton prêt à l'emploi : $110 \text{ €/m}^3$.
Questions d'Investigation :
1. Calculer le volume de béton nécessaire pour les 8 piliers.
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$V_{\text{piliers}} = 8 \times (0,4 \times 0,4 \times 3) = 8 \times 0,48 = \mathbf{3,84 \text{ m}^3}$.
2. Calculer le volume de béton nécessaire pour la dalle rectangulaire.
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$V_{\text{dalle}} = 12 \times 8 \times 0,15 = \mathbf{14,4 \text{ m}^3}$.
3. Calculer le volume total de béton et le nombre de camions malaxeurs à commander.
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• Volume total : $3,84 + 14,4 = \mathbf{18,24 \text{ m}^3}$.
• Nombre de camions : $\frac{18,24}{7} \approx 2,6 \implies$ **3 camions malaxeurs**.
4. Calculer le coût total de la commande de béton.
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Coût : $18,24 \times 110 = \mathbf{2\,006,40 \text{ €}}$.