TD & Exercices Gradués
8 Exercices d'application pour s'entraîner aux calculs d'énergie cinétique $E_c$, potentielle $E_p$, du travail $W$ et de la puissance $P$.
1 Conversions de Vitesse et Énergie Cinétique
Niveau 11. Convertir les vitesses suivantes en mètres par seconde (m/s) : $v_1 = 45\text{ km/h}$, $v_2 = 90\text{ km/h}$, $v_3 = 130\text{ km/h}$.
2. Une voiture de masse $m = 1200\text{ kg}$ roule à la vitesse $v = 90\text{ km/h}$. Calculer son énergie cinétique $E_c$ en Joules (J) puis en kiloJoules (kJ).
Voir la solution de l'Exercice 1
1. $v_1 = \frac{45}{3{,}6} = 12{,}5\text{ m/s}$ ; $v_2 = \frac{90}{3{,}6} = 25\text{ m/s}$ ; $v_3 = \frac{130}{3{,}6} \approx 36{,}11\text{ m/s}$.
2. $v_2 = 25\text{ m/s}$.
$E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1200 \times (25)^2 = 600 \times 625 = 375\,000\text{ J} = 375\text{ kJ}$.
2 Travail d'une Force de Traction
Niveau 1Un chariot de manutention est tiré par un ouvrier qui exerce une force constante horizontale de $F = 350\text{ N}$ sur une distance de $d = 40\text{ m}$.
1. Calculer le travail $W$ effectué par cette force.
2. Ce travail est-il moteur ou résistant ? Justifier.
Voir la solution de l'Exercice 2
1. $W = F \times d = 350 \times 40 = 14\,000\text{ J} = 14\text{ kJ}$.
2. $W > 0$, la force s'exerce dans le sens du déplacement : c'est un **travail moteur**.
3 Énergie Potentielle de Pesanteur
Niveau 2Un réservoir d'eau de masse $m = 1500\text{ kg}$ est placé sur le toit d'un bâtiment d'atelier à une hauteur de $h = 18\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ N/kg}$).
1. Calculer l'énergie potentielle $E_p$ stockée par le réservoir d'eau.
2. Si le réservoir est vidé à moitié, que devient son énergie potentielle ?
Voir la solution de l'Exercice 3
1. $E_p = m \cdot g \cdot h = 1500 \times 9{,}81 \times 18 = 264\,870\text{ J} \approx 264{,}9\text{ kJ}$.
2. Comme $E_p$ est proportionnelle à la masse $m$, si la masse est divisée par 2 ($750\text{ kg}$), l'énergie potentielle est également **divisée par 2** ($132{,}4\text{ kJ}$).
4 Puissance Mécanique d'une Grue de Chantier
Niveau 2Une grue soulève une poutre en acier de masse $m = 600\text{ kg}$ à une hauteur de $h = 25\text{ m}$ en une durée $\Delta t = 20\text{ s}$ ($g = 9{,}81\text{ N/kg}$).
1. Calculer le poids $P$ de la poutre et le travail $W$ effectué par le câble de levage.
2. Calculer la puissance mécanique utile $P_{utile}$ développée par le moteur de la grue en Watts (W) et en kiloWatts (kW).
Voir la solution de l'Exercice 4
1. Poids $P = m \cdot g = 600 \times 9{,}81 = 5886\text{ N}$.
Travail $W = P \times h = 5886 \times 25 = 147\,150\text{ J} = 147{,}15\text{ kJ}$.
2. Puissance $P_{utile} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{147150}{20} = 7357{,}5\text{ W} \approx 7{,}36\text{ kW}$.
5 Conservation de l'Énergie Mécanique (Chute Libre)
Niveau 2Un marteau de masse $m = 1{,}5\text{ kg}$ tombe du haut d'un échafaudage de hauteur $h = 20\text{ m}$ sans vitesse initiale ($g = 9{,}81\text{ N/kg}$). On néglige les frottements de l'air.
1. Calculer l'énergie mécanique $E_m$ au sommet.
2. En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, calculer la vitesse d'impact $v$ du marteau lorsqu'il touche le sol ($v = \sqrt{2 g h}$).
Voir la solution de l'Exercice 5
1. Au sommet : $v=0 \Rightarrow E_c = 0$. $E_m = E_p = m \cdot g \cdot h = 1{,}5 \times 9{,}81 \times 20 = 294{,}3\text{ J}$.
2. Au sol : $h=0 \Rightarrow E_p = 0 \Rightarrow E_c = E_m = 294{,}3\text{ J}$.
$v = \sqrt{\frac{2 E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 294{,}3}{1{,}5}} = \sqrt{392{,}4} \approx 19{,}81\text{ m/s}$ (soit $71{,}3\text{ km/h}$).
6 Freinage et Dissipation d'Énergie Thermique
Niveau 3Un chariot élévateur d'usine de masse totale $m = 2200\text{ kg}$ roule à $v = 18\text{ km/h}$ ($5\text{ m/s}$). Le conducteur stoppe le véhicule sur une distance de $d = 4\text{ m}$.
1. Calculer l'énergie cinétique initiale $E_c$ du chariot.
2. En déduire la force de freinage moyenne $F_{frot}$ développée par les freins ($W_{frot} = E_c = F_{frot} \times d$).
Voir la solution de l'Exercice 6
1. $E_c = \frac{1}{2} \times 2200 \times 5^2 = 1100 \times 25 = 27\,500\text{ J} = 27{,}5\text{ kJ}$.
2. $F_{frot} = \frac{E_c}{d} = \frac{27500}{4} = 6875\text{ N}$.
7 Rendement Énergétique d'un Système de Levage
Niveau 3Un treuil électrique d'atelier absorbe une puissance électrique de $P_{elec} = 5\text{ kW}$ ($5000\text{ W}$) pendant $\Delta t = 10\text{ s}$. Il élève une masse de $m = 300\text{ kg}$ sur une hauteur de $h = 12\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ N/kg}$).
1. Calculer l'énergie électrique consommée $E_{elec} = P_{elec} \times \Delta t$.
2. Calculer l'énergie potentielle utile gagnée par la masse $E_p = m \cdot g \cdot h$.
3. Calculer le rendement du treuil $\eta = \frac{E_p}{E_{elec}} \times 100$.
Voir la solution de l'Exercice 7
1. $E_{elec} = 5000 \times 10 = 50\,000\text{ J} = 50\text{ kJ}$.
2. $E_p = 300 \times 9{,}81 \times 12 = 35\,316\text{ J} \approx 35{,}32\text{ kJ}$.
3. Rendement : $\eta = \frac{35316}{50000} \times 100 = 70{,}63\% \approx 70{,}6\%$.
8 Problème Synthèse Type Examen / CCF
Niveau 3Dans un parc d'attraction, un wagonnet de masse $m = 400\text{ kg}$ s'élance sans vitesse initiale du haut d'un sommet A situé à la hauteur $h_A = 25\text{ m}$. Il descend jusqu'au point B au niveau du sol ($h_B = 0\text{ m}$), puis remonte sur une seconde bosse au point C ($h_C = 15\text{ m}$). On néglige dans un premier temps les frottements ($g = 9{,}81\text{ N/kg}$).
1. Calculer la vitesse théorique $v_B$ du wagonnet au point B au bas de la descente.
2. Calculer la vitesse théorique $v_C$ au sommet de la seconde bosse au point C.
3. En réalité, en raison des frottements, la vitesse au point C n'est que de $v_{C, réel} = 12\text{ m/s}$. Calculer l'énergie mécanique perdue sous forme de chaleur entre A et C.
Voir la solution de l'Exercice 8
1. Au point A : $E_{mA} = m \cdot g \cdot h_A = 400 \times 9{,}81 \times 25 = 98\,100\text{ J}$.
Au point B : $E_p = 0 \Rightarrow E_{cB} = 98100\text{ J} \Rightarrow v_B = \sqrt{\frac{2 \times 98100}{400}} = \sqrt{490{,}5} \approx 22{,}15\text{ m/s}$ ($79{,}7\text{ km/h}$).
2. Au point C théorique : $E_{pC} = 400 \times 9{,}81 \times 15 = 58\,860\text{ J}$.
$E_{cC} = E_{mA} - E_{pC} = 98100 - 58860 = 39\,240\text{ J}$.
$v_C = \sqrt{\frac{2 \times 39240}{400}} = \sqrt{196{,}2} \approx 14{,}01\text{ m/s}$ ($50{,}4\text{ km/h}$).
3. Énergie mécanique réelle en C : $E_{mC, réel} = E_{pC} + E_{cC, réel} = 58860 + \frac{1}{2} \times 400 \times 12^2 = 58860 + 28800 = 87\,660\text{ J}$.
Perte par frottement : $E_{frot} = E_{mA} - E_{mC, réel} = 98100 - 87660 = 10\,440\text{ J} = 10{,}44\text{ kJ}$.