Référentiel Officiel BTS
Cours Référentiel BTS
1. Écriture & Opérations sur les Nombres Complexes
Un nombre complexe $\underline{z}$ s'écrit sous 3 formes :
- **Algébrique** : $\underline{z} = a + jb$ ($a = \text{Re}(\underline{z})$, $b = \text{Im}(\underline{z})$, $j^2 = -1$).
- **Trigonométrique** : $\underline{z} = r(\cos\theta + j\sin\theta)$.
- **Exponentielle / Polaire** : $\underline{z} = r e^{j\theta} = [r ; \theta]$.
Propriétés : $r = |\underline{z}| = \sqrt{a^2+b^2}$, $\theta = \arg(\underline{z}) = \arctan(b/a)$ (ajusté selon le cadran).
- **Algébrique** : $\underline{z} = a + jb$ ($a = \text{Re}(\underline{z})$, $b = \text{Im}(\underline{z})$, $j^2 = -1$).
- **Trigonométrique** : $\underline{z} = r(\cos\theta + j\sin\theta)$.
- **Exponentielle / Polaire** : $\underline{z} = r e^{j\theta} = [r ; \theta]$.
Propriétés : $r = |\underline{z}| = \sqrt{a^2+b^2}$, $\theta = \arg(\underline{z}) = \arctan(b/a)$ (ajusté selon le cadran).
2. Impédances Complexes des Dipôles Linéaires
- **Résistance $R$** : $\underline{Z}_R = R$ (déphasage null $\varphi = 0$).
- **Inductance $L$** : $\underline{Z}_L = j L \omega = L\omega e^{j \pi/2}$ (courant en retard de $90^\circ$).
- **Capacité $C$** : $\underline{Z}_C = \frac{1}{j C \omega} = -j \frac{1}{C \omega} = \frac{1}{C\omega} e^{-j \pi/2}$ (courant en avance de $90^\circ$).
- **Inductance $L$** : $\underline{Z}_L = j L \omega = L\omega e^{j \pi/2}$ (courant en retard de $90^\circ$).
- **Capacité $C$** : $\underline{Z}_C = \frac{1}{j C \omega} = -j \frac{1}{C \omega} = \frac{1}{C\omega} e^{-j \pi/2}$ (courant en avance de $90^\circ$).
3. Puissance Complexe & Théorème de Boucherot
La puissance complexe $\underline{S}$ est définie par $\underline{S} = \underline{U} \cdot \underline{I}^* = P + jQ$.
- $P = \text{Re}(\underline{S}) = U I \cos\varphi$ (Puissance Active en W).
- $Q = \text{Im}(\underline{S}) = U I \sin\varphi$ (Puissance Réactive en var).
- $S = |\underline{S}| = U I$ (Puissance Apparente en VA).
- $P = \text{Re}(\underline{S}) = U I \cos\varphi$ (Puissance Active en W).
- $Q = \text{Im}(\underline{S}) = U I \sin\varphi$ (Puissance Réactive en var).
- $S = |\underline{S}| = U I$ (Puissance Apparente en VA).
Méthode : Résoudre un Circuit AC par les Complexes
Exprimer les impédances sous forme algébrique ou complexe $\underline{Z}_k$.
Calculer l'impédance équivalente $\underline{Z}_{eq}$ (série/parallèle).
Appliquer la loi d'Ohm complexe $\underline{I} = \underline{U} / \underline{Z}_{eq}$.
Convertir en forme exponentielle pour obtenir la valeur efficace $I = |\underline{I}|$ et le déphasage $\varphi = \arg(\underline{U}) - \arg(\underline{I})$.