Étude de Cas Ingénierie BTS CRI
Activités d'Ingénierie
Vérification d'interférence et calage d'axe de piquage par le produit vectoriel.
1
45 min
Problématique BTS CRI
Vérification de Non-Interférence de 2 Conduites Obliques
Contextualisation Chaudronnerie & Raccordement
Dans une centrale d'incinération, la conduite principale $D_1$ passe par $A(1, 2, 0)$ avec le vecteur directeur $\vec{u}_1(2, 1, 0)$. La conduite secondaire $D_2$ passe par $B(0, 4, 3)$ avec $\vec{u}_2(0, -1, 2)$. Les deux tubes ont un rayon extérieur $R = 0,5\text{ m}$.
Questions d'Ingénierie :
Question 1 : Calculer le produit vectoriel $\vec{n} = \vec{u}_1 \wedge \vec{u}_2$ et sa norme.
$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1(2) - 0(-1) \\ 0(0) - 2(2) \\ 2(-1) - 1(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$. Norme $\|\vec{n}\| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+16+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \approx 4,899$.
Question 2 : Calculer le vecteur $\vec{AB}$ et le produit mixte $(\vec{AB}, \vec{u}_1, \vec{u}_2) = \vec{AB} \cdot (\vec{u}_1 \wedge \vec{u}_2)$.
$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 4-2 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Produit mixte : $\vec{AB} \cdot \vec{n} = (-1)(2) + (2)(-4) + (3)(-2) = -2 - 8 - 6 = -16$.
Question 3 : Déduire la plus courte distance entre les deux axes $d(D_1, D_2) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|}$ et vérifier la non-collision ($d > 2R = 1,0\text{ m}$).
$d(D_1, D_2) = \frac{|-16|}{4,899} = \frac{16}{4,899} \approx 3,266\text{ m}$. Comme $3,27\text{ m} > 1,0\text{ m}$, les conduites ne se touchent absolument pas !