TD : 10 Exercices de Trigonométrie (Cosinus, Sinus, Tangente)
Ex 1 Calcul du Côté Opposé par le Sinus
Calculer (REA)Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'hypoténuse $AC = 10\text{ cm}$ et l'angle $\widehat{BAC} = 30^\circ$.
Calculez la longueur du côté opposé $BC$.
Corrigé rédigé :
$\sin(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AC} \implies \sin(30^\circ) = \frac{BC}{10} \implies BC = 10 \times \sin(30^\circ) = 10 \times 0,5 = \mathbf{5\text{ cm}}$.
Ex 2 Calcul du Côté Adjacent par le Cosinus
Calculer (REA)Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'hypoténuse $AC = 12\text{ cm}$ et l'angle $\widehat{BAC} = 60^\circ$.
Calculez la longueur du côté adjacent $AB$.
Corrigé rédigé :
$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC} \implies \cos(60^\circ) = \frac{AB}{12} \implies AB = 12 \times \cos(60^\circ) = 12 \times 0,5 = \mathbf{6\text{ cm}}$.
Ex 3 Hauteur d'une Rampe par la Tangente
Calculer (REA)Une rampe d'accès horizontale mesure $AB = 8\text{ m}$ (adjacent) sous un angle $\widehat{A} = 10^\circ$.
Calculez la hauteur $BC$ franchie par la rampe ($\tan(10^\circ) \approx 0,1763$).
Corrigé rédigé :
$\tan(10^\circ) = \frac{BC}{8} \implies BC = 8 \times \tan(10^\circ) = 8 \times 0,1763 = \mathbf{1,41\text{ m}}$.
Ex 4 Calcul de l'Angle d'un Toit ($\arccos$)
Modéliser (MOD)Un toit solaire a une longueur $AC = 5\text{ m}$ (hypoténuse) et une largeur au sol $AB = 4\text{ m}$ (adjacent).
Calculez l'angle d'inclinaison $\widehat{BAC}$ au dixième de degré près.
Corrigé rédigé :
$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{4}{5} = 0,8 \implies \widehat{BAC} = \arccos(0,8) \approx \mathbf{36,9^\circ}$.
Ex 5 Hauteur d'un Arbre par Visée Trigonométrique
Modéliser (MOD)Un forestier se place à $AB = 20\text{ m}$ du pied d'un grand arbre. L'angle de visée avec le sommet est $\widehat{BAC} = 35^\circ$.
Calculez la hauteur $BC$ de l'arbre ($\tan(35^\circ) \approx 0,7002$).
Corrigé rédigé :
$\tan(35^\circ) = \frac{BC}{20} \implies BC = 20 \times \tan(35^\circ) = 20 \times 0,7002 = \mathbf{14,0\text{ m}}$.
Ex 6 Contrôle de Conformité d'une Rampe PMR
Valider (VAL)Une rampe d'accès franchit une hauteur $BC = 0,5\text{ m}$ sur une longueur au sol $AB = 6\text{ m}$.
1. Calculez l'angle d'inclinaison $\widehat{BAC} = \arctan(\frac{0,5}{6})$.
2. La norme PMR impose un angle max de $5^\circ$. La rampe est-elle conforme ?
Corrigé rédigé :
1. $\tan(\widehat{BAC}) = \frac{0,5}{6} \approx 0,0833 \implies \widehat{BAC} = \arctan(0,0833) \approx \mathbf{4,76^\circ}$.
2. $4,76^\circ \le 5^\circ$, **la rampe est parfaitement conforme aux normes PMR** !
Ex 7 Longueur d'une Échelle de Pompier
Chercher (CHER)Pour atteindre une fenêtre située à une hauteur $BC = 6\text{ m}$, une échelle $AC$ est déployée sous un angle $\widehat{A} = 65^\circ$.
Calculez la longueur de l'échelle $AC$ ($\sin(65^\circ) \approx 0,9063$).
Corrigé rédigé :
$\sin(65^\circ) = \frac{6}{AC} \implies AC = \frac{6}{\sin(65^\circ)} = \frac{6}{0,9063} = \mathbf{6,62\text{ m}}$.
Ex 8 Rédaction d'une Fiche de Choix de Formule
Communiquer (COM)Expliquez en 3 lignes comment choisir entre $\cos$, $\sin$ et $\tan$ pour calculer un côté inconnu en utilisant le moyen mnémotechnique **CAH SOH TOA**.
Corrigé rédigé :
On repère d'abord les 2 côtés impliqués (connu et recherché) :
• Si l'hypoténuse et l'adjacent sont en jeu $\implies$ **Cosinus** (CAH).
• Si l'hypoténuse et l'opposé sont en jeu $\implies$ **Sinus** (SOH).
• Si l'opposé et l'adjacent sont en jeu $\implies$ **Tangente** (TOA).
Ex 9 Portée Horizontale d'un Bras de Grue
Modéliser (MOD)La flèche d'une grue mesure $AC = 15\text{ m}$ (hypoténuse) et fait un angle $\widehat{BAC} = 40^\circ$ avec le sol horizontal.
Calculez la portée horizontale $AB$ ($\cos(40^\circ) \approx 0,7660$).
Corrigé rédigé :
$\cos(40^\circ) = \frac{AB}{15} \implies AB = 15 \times \cos(40^\circ) = 15 \times 0,7660 = \mathbf{11,49\text{ m}}$.
Ex 10 Problème Complexe DNB PRO : Hauteur d'une Éolienne
Valider & Synthétiser (VAL)Pour mesurer la hauteur d'une éolienne $BC$, un technicien s'éloigne de $AB = 50\text{ m}$ du pied de l'éolienne. Il vise le sommet avec un télescope et mesure un angle de visée $\widehat{BAC} = 31^\circ$.
1. Calculez la hauteur $BC$ de l'éolienne ($\tan(31^\circ) \approx 0,6009$).
2. Si l'éolienne ne doit pas dépasser $32\text{ m}$, est-elle conforme ?
Corrigé rédigé :
1. $\tan(31^\circ) = \frac{BC}{50} \implies BC = 50 \times \tan(31^\circ) = 50 \times 0,6009 = \mathbf{30,05\text{ m}}$.
2. $30,05\text{ m} \le 32\text{ m}$, **l'éolienne est parfaitement conforme aux normes** !