Fiche de Cours : Trigonométrie
Cosinus, Sinus, Tangente, mnémotechnique CAH SOH TOA et calculs de hauteurs et d'angles.
Vocabulaire du Triangle Rectangle
Définitions des Côtés par rapport à un Angle Aigu
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$ et par rapport à l'angle aigu $\widehat{BAC}$ :
• Hypoténuse : Le côté le plus long, opposé à l'angle droit ($AC$).
• Côté Opposé : Le côté situé en face de l'angle $\widehat{BAC}$ ($BC$).
• Côté Adjacent : Le côté qui touche l'angle $\widehat{BAC}$ (autre que l'hypoténuse) ($AB$).
Schéma Visuel 1 : Identification des 3 Côtés du Triangle Rectangle sur Quadrillage
Formules Trigonométriques : Cosinus, Sinus, Tangente
Cosinus (CAH)
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{AB}{AC}$$
Sinus (SOH)
$$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{BC}{AC}$$
Tangente (TOA)
$$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \frac{BC}{AB}$$
C A H S O H T O A
Méthode : Calculer une Longueur Inconnue
Exemple : Calcul de la Hauteur d'un Pylône avec la Tangente
Énoncé : Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. On donne $AB = 20\text{ m}$ (adjacent) et l'angle $\widehat{BAC} = 35^\circ$. Calculez la hauteur $BC$ (opposé).
Rédaction officielle DNB :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
$\tan(\widehat{BAC}) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{BC}{AB}$
$\tan(35^\circ) = \frac{BC}{20} \implies BC = 20 \times \tan(35^\circ)$
À la calculatrice : $BC = 20 \times 0,7002 = \mathbf{14,0\text{ m}}$.
Méthode : Calculer la Mesure d'un Angle ($\arccos, \arcsin, \arctan$)
Exemple : Calcul de l'Angle d'Inclinaison d'une Rampe (Arccos)
Énoncé : Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$ avec $AB = 4\text{ m}$ (adjacent) et $AC = 5\text{ m}$ (hypoténuse). Calculez la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
Rédaction officielle DNB :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} = 0,8$
À la calculatrice (touche $\arccos$ ou $\cos^{-1}$) :
$\widehat{BAC} = \arccos(0,8) \approx \mathbf{36,9^\circ}$ (arrondi au dixième de degré).
Simulateur & Calculateur Dynamique de Trigonométrie
• $\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{Adj}}{\text{Hyp}} = \frac{4}{5} = \mathbf{0,8000}$
• $\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{Opp}}{\text{Hyp}} = \frac{3}{5} = \mathbf{0,6000}$
• $\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{Opp}}{\text{Adj}} = \frac{3}{4} = \mathbf{0,7500}$