TD : 10 Exercices sur le Théorème de Thalès & sa Réciproque
Ex 1 Calcul Direct de Longueur (Configuration Classique)
Calculer (REA)Dans la figure ci-contre, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne : $AM = 3\text{ cm}$, $AB = 9\text{ cm}$ et $AN = 4\text{ cm}$.
Calculez la longueur $AC$.
Corrigé rédigé :
Comme $(MN) // (BC)$, d'après le théorème de Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$.
$\frac{3}{9} = \frac{4}{AC} \implies AC = \frac{9 \times 4}{3} = \frac{36}{3} = \mathbf{12\text{ cm}}$.
Ex 2 Configuration Papillon sur Charpente
Calculer (REA)Deux pièces métalliques $(AD)$ et $(BC)$ se croisent en $O$. Les traverses $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
On donne : $OA = 5\text{ m}$, $OD = 15\text{ m}$ et $AB = 4\text{ m}$. Calculez la longueur $CD$.
Corrigé rédigé :
Comme $(AB) // (CD)$, d'après le théorème de Thalès : $\frac{OA}{OD} = \frac{AB}{CD}$.
$\frac{5}{15} = \frac{4}{CD} \implies CD = \frac{15 \times 4}{5} = \frac{60}{5} = \mathbf{12\text{ m}}$.
Ex 3 Représentation et Schéma d'une Traverse
Représenter (REG)Un menuisier fabrique un tréteau. La barre horizontale mesure $BC = 80\text{ cm}$. Une traverse intermédiaire $MN = 50\text{ cm}$ est fixée parallèlement à $BC$.
Si la longueur du montant $AB = 120\text{ cm}$, calculez à quelle hauteur $AM$ la traverse doit être fixée.
Corrigé rédigé :
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{AM}{120} = \frac{50}{80} \implies AM = \frac{120 \times 50}{80} = \mathbf{75\text{ cm}}$.
Ex 4 Hauteur d'un Arbre Mesurée par l'Ombre au Sol
Calculer (REA)Un paysagiste utilise un bâton vertical $MN = 1,5\text{ m}$ pour mesurer un grand arbre $BC$.
Les ombres s'alignent : $AM = 2\text{ m}$ et l'ombre totale de l'arbre au sol est $AB = 14\text{ m}$. Calculez la hauteur $BC$ de l'arbre.
Corrigé rédigé :
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{2}{14} = \frac{1,5}{BC} \implies BC = \frac{14 \times 1,5}{2} = \mathbf{10,5\text{ m}}$.
Ex 5 Hauteur d'un Château d'Eau BTP
Modéliser (MOD)Pour mesurer la hauteur d'un château d'eau $BC$, un technicien place une mire $MN = 2\text{ m}$ à $3\text{ m}$ du point de visée $A$. La distance au château d'eau est $AB = 36\text{ m}$.
Calculez la hauteur $BC$ du château d'eau.
Corrigé rédigé :
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{3}{36} = \frac{2}{BC} \implies BC = \frac{36 \times 2}{3} = \mathbf{24\text{ m}}$.
Ex 6 Contrôle de Parallélisme de Rails (Réciproque)
Valider (VAL)Un technicien mesure : $AM = 6\text{ m}$, $AB = 15\text{ m}$, $AN = 8\text{ m}$ et $AC = 20\text{ m}$.
Les rails $(MN)$ et $(BC)$ sont-ils bien parallèles ? Justifiez avec la réciproque de Thalès.
Corrigé rédigé :
$\frac{AM}{AB} = \frac{6}{15} = 0,4$.
$\frac{AN}{AC} = \frac{8}{20} = 0,4$.
Les quotients sont égaux. **D'après la réciproque de Thalès, les rails sont parfaitement parallèles** !
Ex 7 Longueur d'un Câble de Pont Suspendu
Chercher (CHER)Sur un pont suspendu, deux piliers verticaux sont reliés par des câbles. $AM = 15\text{ m}$, $AB = 45\text{ m}$, et le premier câble $MN = 10\text{ m}$.
Calculez la longueur du grand câble $BC$.
Corrigé rédigé :
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{15}{45} = \frac{10}{BC} \implies BC = \frac{45 \times 10}{15} = \mathbf{30\text{ m}}$.
Ex 8 Rédaction d'une Note de Sécurité Chantier
Communiquer (COM)Rédigez une note technique de 3 lignes destinée au chef de chantier expliquant pourquoi la poutre $(MN)$ est bien parallèle à la base $(BC)$ si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$.
Corrigé rédigé :
Les points $A, M, B$ et $A, N, C$ étant alignés dans le même ordre, l'égalité des rapports $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ prouve d'après la réciproque de Thalès que la poutre $(MN)$ est parfaitement parallèle à la base $(BC)$.
Ex 9 Mesure de la Largeur Inaccessible d'une Rivière
Modéliser (MOD)Des topographes veulent mesurer la largeur $BC$ d'une rivière inaccessible. En plaçant une ligne de visée $MN = 12\text{ m}$ à $AM = 16\text{ m}$, et en mesurant $AB = 40\text{ m}$, calculez la largeur $BC$.
Corrigé rédigé :
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{16}{40} = \frac{12}{BC} \implies BC = \frac{40 \times 12}{16} = \mathbf{30\text{ m}}$.
Ex 10 Problème Complexe DNB PRO : Hauteur d'une Éolienne
Valider & Synthétiser (VAL)Pour mesurer la hauteur d'une éolienne $BC$, un technicien place une jalonnette $MN = 2\text{ m}$ à $AM = 5\text{ m}$. L'ombre totale au sol est $AB = 75\text{ m}$.
1. Calculez la hauteur $BC$ de l'éolienne.
2. Si l'éolienne ne doit pas dépasser $35\text{ m}$, est-elle conforme ?
Corrigé rédigé :
1. $BC = \frac{75 \times 2}{5} = \mathbf{30\text{ m}}$.
2. $30\text{ m} \le 35\text{ m}$, **l'éolienne est parfaitement conforme aux normes** !