Fiche de Cours : Théorème de Thalès & Réciproque
Égalité des quotients, calculs de longueurs inaccessibles et démonstration du parallélisme de deux droites.
Théorème de Thalès : Configuration Classique (Triangles Emboîtés)
Théorème de Thalès (Triangles Emboîtés)
Soient deux droites $(AB)$ et $(AC)$ secantes en $A$.
Si le point $M$ appartient à $[AB]$, le point $N$ appartient à $[AC]$, et si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont **parallèles** :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
Schéma Visuel 1 : Configuration Classique et Égalité des 3 Quotients sur Quadrillage
Exemple Métier Rédigé (Calcul de la Hauteur d'un Bâtiment)
Énoncé : Un géomètre mesure un mur $MN = 3\text{ m}$ à $AM = 4\text{ m}$ du point d'observation $A$. Le bâtiment $BC$ est à $AB = 20\text{ m}$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Calculez la hauteur $BC$.
Corrigé rédigé pas à pas :
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{4}{20} = \frac{3}{BC}$.
Par produit en croix : $BC = \frac{20 \times 3}{4} = \frac{60}{4} = 15\text{ m}$.
La hauteur du bâtiment est de **$15\text{ mètres}$**.
Théorème de Thalès : Configuration en Nœud Papillon
Configuration en Nœud Papillon
Si deux droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O$, et si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles : $$\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} = \frac{AB}{CD}$$
Schéma Visuel 2 : Configuration en Nœud Papillon $(AB) // (CD)$ sur Quadrillage
Réciproque du Théorème de Thalès (Démontrer le Parallélisme)
Réciproque de Thalès
Pour démontrer que deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles :
1. On vérifie que les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés dans cet ordre.
2. On calcule séparément $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$.
3. Si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont **parallèles**.
Schéma Visuel 3 : Démonstration du Parallélisme par la Réciproque de Thalès
Résolution de Problèmes de Thalès en 4 Étapes
Identifier la figure
Repérer la configuration (emboîtée ou papillon) et vérifier les droites parallèles.
Écrire l'égalité
Poser $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.
Remplacer et calculer
Remplacer par les valeurs connues et effectuer le produit en croix.
Conclure avec unité
Donner la longueur calculée avec son unité ($m, cm, mm$).
Simulateur & Calculateur Dynamique de Thalès
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{\text{AM}}{\text{AB}} = \frac{\text{MN}}{\text{BC}}$
• Produit en croix : $BC = \frac{AB \times MN}{AM}$
• Calcul : $BC = \frac{15 \times 2}{3} = \mathbf{10\text{ m}}$