Activités d'Investigation - Théorème de Thalès 3PM

Investigation Autonome Élève 3ème Prépa-Métiers

Activités : Calculs de Longueurs & Parallélisme de Thalès

Découvrez comment utiliser l'égalité des trois quotients dans des configurations emboîtées et en nœud papillon pour calculer des longueurs inaccessibles !

Module 0 • Test de Positionnement

Produit en Croix et Quotients Égaux

Pour calculer une inconnue $x$ dans l'égalité de quotients $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$, on utilise le produit en croix : $x = \frac{12 \times 3}{4}$.

1. Calculez $x$ si $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$ :

2. Calculez $y$ si $\frac{5}{y} = \frac{10}{16}$ :

Activité 1 • Investigation Élève

À vous de calculer : Hauteur d'un Pylône Télécom (Triangles Emboîtés)

Un technicien télécom souhaite mesurer la hauteur d'un pylône $BC$ sans y monter.
Il plante un piquet vertical $MN = 2\text{ m}$ à une distance $AM = 3\text{ m}$ de son réflecteur laser $A$.
La distance entre le réflecteur $A$ et le pied du pylône $B$ est $AB = 15\text{ m}$.
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont toutes deux verticales, donc **parallèles** : $(MN) // (BC)$.

Étape 1 : Écrivez l'égalité des quotients et calculez la hauteur $BC$

1. Rapport d'agrandissement $\frac{AB}{AM} = \frac{15}{3}$ :

2. Hauteur du pylône $BC = 2 \times \text{Rapport}$ :

Visualisation Graphique : Triangles Emboîtés $AMN$ et $ABC$ avec $(MN) // (BC)$

Ce qu'on a découvert (Bilan Activité 1)

Dans deux triangles emboîtés $AMN$ et $ABC$, si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles :
• Les longueurs des côtés sont proportionnelles.
• On peut écrire l'**égalité des trois quotients de Thalès** : $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

Activité 2 • Investigation Élève

À vous de calculer : Structure en Nœud Papillon (Pont Roulant)

Sur la charpente d'un pont roulant d'usine, deux traversantes se croisent en un point d'intersection $O$.
Les poutres supérieures et inférieures sont parallèles : $(AB) // (CD)$.
On connaît les mesures : $OA = 4\text{ m}$, $OC = 10\text{ m}$ et la poutre supérieure $AB = 6\text{ m}$.

Étape 1 : Calculez la longueur de la poutre inférieure $CD$

1. Rapport d'agrandissement $\frac{OC}{OA} = \frac{10}{4}$ :

2. Longueur de la poutre $CD = 6 \times \text{Rapport}$ :

Visualisation Graphique : Configuration en Nœud Papillon $(AB) // (CD)$

Ce qu'on a découvert (Bilan Activité 2)

Dans une configuration en nœud papillon où deux droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O$, si $(AB) // (CD)$ :
$$\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} = \frac{AB}{CD}$$

Activité 3 • Investigation Élève

À vous de calculer : Contrôle de Parallélisme (Réciproque)

Un chef de chantier contrôle si la traverse $(MN)$ est bien parallèle au sol $(BC)$.
Il a mesuré les longueurs : $AM = 4\text{ m}$, $AB = 10\text{ m}$, $AN = 6\text{ m}$ et $AC = 15\text{ m}$.

Étape 1 : Comparez les deux quotients $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$

1. Premier quotient $\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10}$ :

2. Deuxième quotient $\frac{AN}{AC} = \frac{6}{15}$ :

Visualisation Graphique : Test de Parallélisme de $(MN)$ et $(BC)$

Ce qu'on a découvert (Bilan Activité 3)

**Réciproque du théorème de Thalès :**
Si les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont **parallèles** !