Fiche de Cours : Repérage Cartésien & Coordonnées
Définition de l'abscisse et de l'ordonnée, repères orthogonaux, calcul des coordonnées du milieu d'un segment.
Repérage sur une Droite Graduée (Abscisse $x$)
Abscisse d'un Point
• Une **droite graduée** est définie par une origine $O(0)$, un sens (flèche) et une unité de longueur.
• Chaque point $M$ est associé à un nombre relatif unique $x_M$ appelé son **abscisse**.
• La **distance entre deux points** $A(x_A)$ et $B(x_B)$ est $AB = x_{grand} - x_{petit}$ (toujours positive).
Schéma Visuel 1 : La Droite Graduée et la Distance $AB$
Le Repère Orthogonal du Plan $M(x; y)$
Le Repère Orthogonal et Orthonormé
• Un **repère orthogonal** est formé par deux droites graduées perpendiculaires se coupant en l'origine $O(0; 0)$.
• L'axe horizontal est l'**axe des abscisses** $(Ox)$.
• L'axe vertical est l'**axe des ordonnées** $(Oy)$.
• Tout point $M$ du plan possède deux coordonnées écrites entre parenthèses : **$M(\text{abscisse } x\text{ ; ordonnée } y)$**.
Schéma Visuel 2 : Repère du Plan et Coordonnées d'un Point $P(3; 4)$
Coordonnées du Milieu d'un Segment
Formule des Coordonnées du Milieu $I$
Dans un repère, si $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, alors le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $$x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$$
Exemple Métier Rédigé (Centre d'une Pièce d'Usinage)
Énoncé : En usinage numérique CNC, deux perçages sont situés aux points $A(2; 6)$ et $B(8; 2)$. Calculez les coordonnées du point d'encrage central $I$.
Corrigé rédigé pas à pas :
$x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Le point central $I$ a pour coordonnées $\mathbf{I(5; 4)}$.
Schéma Visuel 3 : Visualisation du Segment $[AB]$ et de son Milieu $I(5; 4)$ dans le Repère Quadrillé
Résolution de Problèmes de Repérage en 4 Étapes
Lecture du repère
Repérer l'origine $O(0;0)$, l'axe des $x$ (horizontal) et l'axe des $y$ (vertical).
Extraction des coordonnées
Noter $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ en lisant d'abord $x$ puis $y$.
Application formule
Calculer $x_I = \frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I = \frac{y_A+y_B}{2}$.
Vérification graphique
Placer le point $I$ sur le graphique et vérifier s'il est au milieu.
Exemple Métier Rédigé selon les 4 Étapes (Implantation d'une Antenne Télécom)
Énoncé : Deux bâtiments industriels sont situés aux coordonnées $A(1; 3)$ et $B(7; 9)$. On souhaite placer l'antenne $I$ au milieu du segment $[AB]$.
Corrigé rédigé pas à pas :
- Étape 1 (Lecture) : Repère orthonormé avec $A(1; 3)$ et $B(7; 9)$.
- Étape 2 (Extraction) : $x_A = 1, y_A = 3$ et $x_B = 7, y_B = 9$.
- Étape 3 (Calculs) : $x_I = \frac{1 + 7}{2} = 4$ et $y_I = \frac{3 + 9}{2} = 6$.
- Étape 4 (Conclusion) : L'antenne relais doit être implantée aux coordonnées $\mathbf{I(4; 6)}$.
Calculateur & Solveur de Coordonnées du Milieu
• Abscisse du milieu xI : 4
• Ordonnée du milieu yI : 6
• Coordonnées du milieu : I(4; 6)