TD : 10 Exercices sur le Théorème de Pythagore
Ex 1 Calcul Direct d'une Hypoténuse
Calculer (REA)Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB = 6\text{ cm}$ et $BC = 8\text{ cm}$.
Calculez la longueur exacte de l'hypoténuse $AC$.
Corrigé rédigé :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$AC = \sqrt{100} = \mathbf{10\text{ cm}}$.
Ex 2 Calcul d'un Côté de l'Angle Droit
Calculer (REA)Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ dont l'hypoténuse mesure $AC = 13\text{ cm}$ et $BC = 12\text{ cm}$.
Calculez la longueur du côté $AB$.
Corrigé rédigé :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore :
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$.
$AB = \sqrt{25} = \mathbf{5\text{ cm}}$.
Ex 3 Échelle de Peintre en Bâtiment
Modéliser (MOD)Un peintre pose une échelle contre une façade verticalement. Le pied de l'échelle est situé à $1,5\text{ m}$ du mur et la hauteur atteinte est de $3,6\text{ m}$.
Calculez la longueur exacte de l'échelle (arrondie au dixième de mètre).
Corrigé rédigé :
L'échelle forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle :
$L^2 = 1,5^2 + 3,6^2 = 2,25 + 12,96 = 15,21$.
$L = \sqrt{15,21} = \mathbf{3,9\text{ mètres}}$.
Ex 4 Diagonale d'un Écran de Télévision
Modéliser (MOD)Un moniteur vidéo a une largeur de $40\text{ cm}$ et une hauteur de $30\text{ cm}$.
Calculez la longueur de sa diagonale en cm.
Corrigé rédigé :
$D^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500 \implies D = \sqrt{2500} = \mathbf{50\text{ cm}}$.
Ex 5 Traversée en Diagonale d'un Terrain
Chercher (CHER)Un terrain rectangulaire mesure $50\text{ m}$ de largeur et $120\text{ m}$ de longueur.
Calculez la distance gagnée en traversant le terrain en diagonale plutôt qu'en longeant les deux côtés.
Corrigé rédigé :
Diagonale $D = \sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130\text{ m}$.
Parcours sur les bords : $50 + 120 = 170\text{ m}$.
Distance gagnée : $170 - 130 = \mathbf{40\text{ mètres}}$.
Ex 6 Test d'Équerre de Maçon
Valider (VAL)Un ouvrier mesure $AB = 1,5\text{ m}$, $BC = 2\text{ m}$ et une diagonale $AC = 2,6\text{ m}$. Son mur est-il parfaitement d'équerre ?
Corrigé rédigé :
$AC^2 = 2,6^2 = 6,76$.
$AB^2 + BC^2 = 1,5^2 + 2^2 = 2,25 + 4 = 6,25$.
$6,76 \neq 6,25$, donc d'après la contraposée de Pythagore, **le mur n'est pas d'équerre** !
Ex 7 Câble de Haubanage de Pylône
Calculer (REA)Un pylône télécom de $24\text{ m}$ de hauteur est maintenu par un câble fixé à $7\text{ m}$ de sa base.
Calculez la longueur du câble.
Corrigé rédigé :
$L = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = \mathbf{25\text{ mètres}}$.
Ex 8 Rédaction d'une Justification d'Angle Droit
Communiquer (COM)Rédigez la réponse à apporter à un client pour prouver qu'une terrasse triangulaire de côtés $9\text{ m}$, $12\text{ m}$ et $15\text{ m}$ est bien un triangle rectangle.
Corrigé rédigé :
Le plus grand côté est $15\text{ m}$ ($15^2 = 225$).
La somme des carrés des deux autres côtés est $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
L'égalité étant vérifiée, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, la terrasse possède bien un angle droit parfait !
Ex 9 Rampe d'Accès PMR
Modéliser (MOD)Une rampe PMR permet d'atteindre un palier situé à $0,4\text{ m}$ de hauteur sur une distance au sol de $8\text{ m}$.
Calculez la longueur utile de roulement de la rampe au millimètre près.
Corrigé rédigé :
$L = \sqrt{0,4^2 + 8^2} = \sqrt{0,16 + 64} = \sqrt{64,16} \approx \mathbf{8,010\text{ mètres}}$.
Ex 10 Problème Complexe DNB PRO : Charpente de Toiture
Valider & Synthétiser (VAL)Un pignon de maison en forme de triangle isocèle a une largeur totale de $8\text{ m}$ (demi-largeur = $4\text{ m}$) et une hauteur de ferme de $3\text{ m}$.
1. Calculez la longueur du chevron de toiture (hypoténuse).
2. Déterminez la longueur totale de tôles de couverture nécessaire pour les 2 versants d'une maison de $10\text{ m}$ de long.
Corrigé rédigé :
1. Chevron = $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5\text{ mètres}}$.
2. Surface totale = $2 \times (5\text{ m} \times 10\text{ m}) = \mathbf{100\text{ m² de couverture}}$.