Activités d'Investigation - Théorème de Pythagore 3PM

Investigation Autonome Élève 3ème Prépa-Métiers

Activités : Découverte du Théorème de Pythagore

Découvrez le lien géométrique entre les carrés des côtés d'un triangle rectangle et apprenez à vérifier un angle droit sur un chantier !

Module 0 • Test de Positionnement

Carrés et Racines Carrées

Calculez les valeurs manquantes :

1. Calculez le carré de 6 ($6^2 = 6 \times 6$) :

2. Trouvez la racine carrée $\sqrt{25}$ :

Activité 1 • Investigation Élève

À vous de calculer : L'Égalité des Carrés de Pythagore

Considérons un triangle rectangle $ABC$ rectangle en $B$ de côtés :
• $AB = 3\text{ cm}$
• $BC = 4\text{ cm}$
• Hypoténuse $AC = 5\text{ cm}$

Étape 1 : Calculez les aires des 3 carrés construits sur chaque côté

1. Aire du carré $AB^2$ ($3 \times 3$) :

2. Aire du carré $BC^2$ ($4 \times 4$) :

3. Aire du carré $AC^2$ ($5 \times 5$) :

Visualisation Graphique : Les 3 Carrés sur les Côtés ($9 + 16 = 25$)

Ce qu'on a découvert (Bilan Activité 1)

Dans un triangle rectangle, **la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse** :
$$AB^2 + BC^2 = AC^2 \implies 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$

Activité 2 • Investigation Élève

À vous de calculer : Longueur d'une Échelle appuyée sur un Mur

Un peintre pose une échelle contre un mur parfaitement vertical :
• Distance du pied de l'échelle au mur : $AB = 1,6\text{ m}$.
• Hauteur atteinte sur le mur : $BC = 3\text{ m}$.

Étape 1 : Calculez la longueur de l'échelle $AC$

Calculez $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1,6^2 + 3^2 = 2,56 + 9 = 11,56$, puis prenez $\sqrt{11,56}$ :

1. Carré de l'hypoténuse ($AC^2$) :

2. Longueur de l'échelle $AC$ ($\sqrt{11,56}$) :

Visualisation Graphique : L'Échelle en Hypoténuse ($AC = \sqrt{11,56} = 3,4\text{ m}$)

Ce qu'on a découvert (Bilan Activité 2)

Pour calculer la longueur de l'hypoténuse $AC$ d'un triangle rectangle :
1. On calcule $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
2. On prend la racine carrée : $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1,6^2 + 3^2} = \sqrt{11,56} = \mathbf{3,4\text{ mètres}}$.

Activité 3 • Investigation Élève

À vous de calculer : La Réciproque et la Règle 3-4-5 du Maçon

Un maçon veut vérifier si l'angle formé par deux murs est bien un **angle droit parfait** :
• Il mesure $AB = 3\text{ m}$ sur le premier mur.
• Il mesure $BC = 4\text{ m}$ sur le second mur.
• Il mesure la diagonale $AC = 5\text{ m}$.

Étape 1 : Vérifiez l'égalité de la Réciproque de Pythagore

1. Somme des deux petits carrés ($3^2 + 4^2$) :

2. Carré du plus grand côté ($5^2$) :

Visualisation Graphique : La Corde à 13 Nœuds et la Règle 3-4-5

Ce qu'on a découvert (Bilan Activité 3)

**Réciproque du Théorème de Pythagore :**
Si dans un triangle $ABC$, l'égalité $AB^2 + BC^2 = AC^2$ est vérifiée, alors **le triangle est rectangle en $B$** et possède un angle droit de $90^\circ$ !