Fiche de Cours : Théorème de Pythagore & Réciproque
Formules de calcul d'hypoténuse, d'un côté de l'angle droit, et test d'orthogonalité par la réciproque.
Le Triangle Rectangle et l'Hypoténuse
Définitions du Triangle Rectangle
• Un triangle est dit rectangle s'il possède un angle droit de $90^\circ$.
• L'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle. Il se situe **toujours en face de l'angle droit**.
• Les deux autres côtés sont appelés les **côtés de l'angle droit**.
Schéma Visuel 1 : Repérage de l'Hypoténuse et des Côtés de l'Angle Droit
Calcul de la Longueur de l'Hypoténuse
Théorème de Pythagore (Formule de l'Hypoténuse)
Si un triangle $ABC$ est rectangle en $B$, alors : $$AC^2 = AB^2 + BC^2 \implies AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$
Exemple Métier Rédigé (Longueur de Rampe PMR)
Énoncé : Une rampe d'accès handicapé a une hauteur verticale $AB = 0,6\text{ m}$ et une avancée au sol $BC = 8\text{ m}$. Calculez la longueur utile $AC$ de la rampe.
Corrigé rédigé pas à pas :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 0,6^2 + 8^2 = 0,36 + 64 = 64,36$.
$AC = \sqrt{64,36} \approx \mathbf{8,02\text{ mètres}}$.
Calcul d'un Côté de l'Angle Droit
Formule de Soustraction pour un Côté de l'Angle Droit
Pour calculer un côté de l'angle droit (par exemple $AB$), on soustrait les carrés : $$AB^2 = AC^2 - BC^2 \implies AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}$$ Attention : On soustrait TOUJOURS le plus petit carré au plus grand carré ($AC^2$) !
Exemple Métier Rédigé (Hauteur d'Antenne Relais)
Énoncé : Un câble de haubanage de $AC = 13\text{ m}$ est ancré au sol à $BC = 5\text{ m}$ du pied du mât. Calculez la hauteur $AB$ de l'antenne.
Corrigé rédigé pas à pas :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore :
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
$AB = \sqrt{144} = \mathbf{12\text{ mètres}}$.
Réciproque du Théorème & Test en 4 Étapes
Plus grand côté
Repérer le plus grand côté et calculer son carré séparément ($AC^2$).
Somme des 2 carrés
Calculer la somme des carrés des deux autres côtés ($AB^2 + BC^2$).
Comparaison
Comparer les deux résultats obtenus : $AC^2 \stackrel{?}{=} AB^2 + BC^2$.
Conclusion
Si égalité : **rectangle**. Si inégalité : **non rectangle** (contraposée).
Exemple Métier Rédigé selon les 4 Étapes (Équerre d'un Mur en Maçonnerie)
Énoncé : Un maçon a posé deux murs : $AB = 3\text{ m}$, $BC = 4\text{ m}$ et mesure une diagonale $AC = 5,1\text{ m}$. Son angle est-il droit ?
Corrigé rédigé pas à pas :
- Étape 1 (Plus grand côté) : $AC^2 = 5,1^2 = 26,01$.
- Étape 2 (Somme des petits carrés) : $AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
- Étape 3 (Comparaison) : $26,01 \neq 25 \implies AC^2 \neq AB^2 + BC^2$.
- Étape 4 (Conclusion) : L'égalité n'est pas vérifiée, donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, **le mur n'est pas d'équerre** !
Simulateur & Solveur Dynamique de Triangle Rectangle
• Carré calculé : 25
• Racine carrée : AC = 5 cm