Fiche de Cours : Puissances & Notation Scientifique
Définitions des puissances de 10, préfixes métriques, écriture scientifique $a \times 10^n$ et règles de calcul sur les exposants.
Notion de Puissance d'un Nombre $a^n$
Définition des Puissances d'un Nombre
Pour tout nombre $a$ et tout entier positif $n$ ($n \ge 1$) :
• **Exposant positif :** $a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$. Exemple : $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
• **Conventions :** $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour tout $a \neq 0$).
• **Exposant négatif :** $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Exemple : $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125$.
Exemple Métier Rédigé (Capacité Mémoire Binaire)
Énoncé : En informatique, 1 Ko binaire vaut $2^{10}$ octets. Calculez cette valeur.
Corrigé rédigé :
$2^{10} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{1\text{ }024\text{ octets}}$.
Puissances de 10 & Préfixes Scientifiques
Schéma Visuel 1 : Frise des Préfixes Métriques et Puissances de 10
| Préfixe | Symbole | Puissance de 10 | Valeur Décimale |
|---|---|---|---|
| Giga | G | $10^9$ | $1\text{ }000\text{ }000\text{ }000$ (Milliard) |
| Méga | M | $10^6$ | $1\text{ }000\text{ }000$ (Million) |
| Kilo | k | $10^3$ | $1\text{ }000$ (Mille) |
| Milli | m | $10^{-3}$ | $0,001$ (Millième) |
| Micro | µ | $10^{-6}$ | $0,000001$ (Micro-mètre) |
| Nano | n | $10^{-9}$ | $0,000000001$ (Nano-mètre) |
Écriture Scientifique $a \times 10^n$ ($1 \le |a| < 10$)
Règle d'Or de l'Écriture Scientifique
L'écriture scientifique d'un nombre décimal est son unique écriture de la forme : $$a \times 10^n$$ où $a$ est un nombre décimal comportant **un seul chiffre non nul avant la virgule** ($1 \le |a| < 10$) et $n$ est un entier relatif.
Schéma Visuel 2 : Déplacement de la Virgule selon le Signe de l'Exposant
Règles de Calcul & Résolution de Problèmes en 4 Étapes
Extraction des données
Repérer les grandeurs en notation scientifique (ex: $v = 3 \times 10^8\text{ m/s}$).
Choix de la formule
Séparer les coefficients décimaux d'un côté et les puissances de 10 de l'autre.
Calcul des exposants
Appliquer $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$ et $\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$.
Écriture Scientifique finale
Ajuster le coefficient pour respecter $1 \le |a| < 10$.
Exemple Métier Rédigé selon les 4 Étapes (Distance Parcourue par la Lumière)
Énoncé : La lumière se déplace à la vitesse $v = 3 \times 10^8\text{ m/s}$. Calculez la distance $d = v \times t$ parcourue en $t = 4 \times 10^3\text{ secondes}$ (environ 1h06).
Corrigé rédigé pas à pas :
- Étape 1 (Données) : $v = 3 \times 10^8\text{ m/s}$ et $t = 4 \times 10^3\text{ s}$.
- Étape 2 (Regroupement) : $d = (3 \times 10^8) \times (4 \times 10^3) = (3 \times 4) \times (10^8 \times 10^3)$.
- Étape 3 (Calcul) : $3 \times 4 = 12$ et $10^8 \times 10^3 = 10^{8+3} = 10^{11} \implies d = 12 \times 10^{11}\text{ m}$.
- Étape 4 (Forme Scientifique) : $12 \times 10^{11} = (1,2 \times 10^1) \times 10^{11} = \mathbf{1,2 \times 10^{12}\text{ mètres}}$.
Convertisseur Dynamique en Écriture Scientifique
Saisissez n'importe quel nombre décimal :
• Nombre d'origine : 4 500 000
• Ordre de grandeur : 10^6
• Écriture Scientifique : 4.5 × 10⁶