TD : 10 Exercices sur les Fractions & Rationnels
Ex 1 Simplification sous Forme Irréductible
Calculer (REA)Simplifiez les fractions suivantes pour les rendre irréductibles :
a) $\frac{36}{48}$ b) $\frac{45}{105}$ c) $\frac{72}{90}$
Corrigé rédigé :
a) $\frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \mathbf{\frac{3}{4}}$.
b) $\frac{45 \div 15}{105 \div 15} = \mathbf{\frac{3}{7}}$.
c) $\frac{72 \div 18}{90 \div 18} = \mathbf{\frac{4}{5}}$.
Ex 2 Additions & Soustractions de Fractions
Calculer (REA)Effectuez les calculs et donnez la fraction sous forme irréductible :
a) $\frac{3}{7} + \frac{2}{7}$ b) $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$ c) $\frac{2}{3} + \frac{5}{12}$
Corrigé rédigé :
a) $\frac{3 + 2}{7} = \mathbf{\frac{5}{7}}$.
b) Dénominateur commun = 12 : $\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{7}{12}}$.
c) Dénominateur commun = 12 : $\frac{8}{12} + \frac{5}{12} = \mathbf{\frac{13}{12}}$.
Ex 3 Multiplications & Divisions de Fractions
Calculer (REA)Calculez :
a) $\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}$ b) $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$
Corrigé rédigé :
a) $\frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{12}{72} = \mathbf{\frac{1}{6}}$.
b) $\frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \mathbf{\frac{5}{4}}$.
Ex 4 Dosage du Béton (Problème Métier)
Modéliser (MOD)Un mélange de béton contient $\frac{1}{6}$ d'eau, $\frac{2}{6}$ de ciment et $\frac{3}{6}$ de gravier et sable.
Pour préparer un sac total de 30 kg de mélange, calculez la masse de chaque composant en kg.
Corrigé rédigé :
• Eau : $30 \times \frac{1}{6} = \mathbf{5\text{ kg}}$.
• Ciment : $30 \times \frac{2}{6} = \mathbf{10\text{ kg}}$.
• Gravier/Sable : $30 \times \frac{3}{6} = \mathbf{15\text{ kg}}$.
Ex 5 Part Restante d'un Budget
Chercher (CHER)Un atelier dépense $\frac{1}{4}$ de son budget en matériel, $\frac{2}{5}$ en salaires et $\frac{1}{10}$ en électricité.
Quelle fraction du budget total reste-t-il ?
Corrigé rédigé :
Dénominateur commun = 20.
Dépenses : $\frac{5}{20} + \frac{8}{20} + \frac{2}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
Reste : $1 - \frac{3}{4} = \mathbf{\frac{1}{4}}$ du budget.
Ex 6 Analyse d'Affirmation Fausse
Valider (VAL)Un apprenti affirme : "$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ car $1+1=2$ et $2+3=5$."
Démontrez pourquoi cette affirmation est fausse et donnez la valeur exacte.
Corrigé rédigé :
• Faux car on ne peut PAS additionner les dénominateurs !
• Calcul exact sur 6 : $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{5}{6}}$ (ce qui est supérieur à $1/2$, alors que $2/5 = 0,4 < 0,5$).
Ex 7 Calculs Combinés avec Parenthèses
Calculer (REA)Calculez $A = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\right) \times \frac{8}{11}$.
Corrigé rédigé :
• Parenthèse : $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$.
• Multiplication : $\frac{11}{12} \times \frac{8}{11} = \frac{88}{132} = \mathbf{\frac{2}{3}}$.
Ex 8 Explication de la Règle d'Inverse
Communiquer (COM)Rédigez une phrase expliquant pourquoi diviser une quantité par $\frac{1}{2}$ revient à la doubler (multiplier par 2).
Corrigé rédigé :
L'inverse de $\frac{1}{2}$ est $\frac{2}{1} = 2$. Diviser par $\frac{1}{2}$ revient à multiplier par son inverse $2$, ce qui équivaut à doubler la quantité.
Ex 9 Emploi du Temps Hebdomadaire (35h)
Modéliser (MOD)Sur une semaine de **35 heures**, un technicien passe **$\frac{1}{5}$ de son temps en tâches administratives** et **$\frac{3}{5}$ en fabrication en atelier**. Le reste du temps est consacré au chantier.
1. Quelle fraction du temps passe-t-il sur le chantier ?
2. Combien d'heures cela représente-t-il ?
Corrigé rédigé :
1. Fraction chantier : $1 - \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{5}\right) = 1 - \frac{4}{5} = \mathbf{\frac{1}{5}}$.
2. Heures : $35 \times \frac{1}{5} = \mathbf{7\text{ heures}}$.
Ex 10 Problème Complexe DNB PRO : Dosage d'un Cocktail Traiteur
Valider & Synthétiser (VAL)Un traiteur prépare 12 Litres de cocktail sans alcool contenant :
• $\frac{1}{2}$ de jus d'orange.
• $\frac{1}{3}$ de jus de pomme.
• Le reste en sirop de grenadine.
1. Calculez la fraction représentant le sirop de grenadine.
2. Calculez le volume exact en Litres de grenadine nécessaire pour les 12 L.
Corrigé rédigé :
1. Fraction grenadine : $1 - \left(\frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right) = 1 - \frac{5}{6} = \mathbf{\frac{1}{6}}$.
2. Volume en Litres : $12 \times \frac{1}{6} = \mathbf{2\text{ Litres de grenadine}}$.