Fiche de Cours : Opérations sur les Nombres Rationnels
Règles d'addition, soustraction, multiplication, division et réduction au même dénominateur pour résoudre des problèmes de proportions.
Vocabulaire & Égale Valeur des Fractions
Nombre Rationnel & Fraction Irréductible
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient $\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers ($b \neq 0$).
• Propriété : $\frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a}{b}$ et $\frac{a \div k}{b \div k} = \frac{a}{b}$.
• Fraction irréductible : Une fraction qu'on ne peut plus simplifier (ex: $\frac{3}{4}$).
Schéma Visuel 1 : Équivalence de Découpage ($\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$)
Exemple Métier Rédigé (Simplification de Proportions de Pièces)
Énoncé : Dans une commande de 120 vis, 45 sont en acier inoxydable. Donnez la proportion sous forme irréductible.
Corrigé rédigé :
Proportion : $\frac{45}{120}$. On divise numérateur et dénominateur par 15 : $\frac{45 \div 15}{120 \div 15} = \mathbf{\frac{3}{8}}$.
Addition & Soustraction de Nombres Rationnels
Règle du Dénominateur Commun
Pour additionner ou soustraire deux fractions :
1. **Même dénominateur :** $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}$.
2. **Dénominateurs différents :** Réduire d'abord au même dénominateur commun $d$ avant d'additionner les numérateurs !
Exemple Métier Rédigé (Dosage de Mélange de Peinture)
Énoncé : Calculez $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$.
Corrigé rédigé :
Dénominateur commun = $3 \times 4 = 12$.
$\frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{11}{12}}$.
Multiplication & Inverse d'une Fraction
Produit & Inverse
• **Multiplication :** $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ (Pas besoin de même dénominateur !).
• **Inverse :** L'inverse d'une fraction non nulle $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ car $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$.
Schéma Visuel 2 : Multiplication par Découpage d'Aire ($\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15}$)
Division de Fractions & Priorités Opératoires
Règle d'Or de la Division
Diviser par un nombre rationnel non nul revient à **multiplier par son inverse** : $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$$ Les **priorités opératoires** restent les mêmes : les parenthèses d'abord, puis la multiplication/division, puis l'addition/soustraction !
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Calcul Combiné avec Parenthèses)
Énoncé : Un atelier calcule la part restant d'un budget : $A = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}\right) \div \frac{5}{6}$.
Corrigé rédigé pas à pas :
- Parenthèses d'abord : $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$.
- Division (multiplier par l'inverse) : $\frac{1}{4} \div \frac{5}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{20}$.
- Simplification finale : $\frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \mathbf{\frac{3}{10}}$.
Calculateur & Simplificateur Dynamique de Fractions
Entrez les 2 fractions et l'opération :
• Calcul : 3/4 + 1/6
• Dénominateur commun : 12
• Forme irréductible : 11 / 12