TD : 10 Exercices sur les Équations & Problèmes
Ex 1 Résolution d'Équations Simples $ax + b = c$
Calculer (REA)Résolvez dans $\mathbb{R}$ les 4 équations suivantes :
a) $3x - 5 = 16$ b) $4x + 12 = 0$ c) $-2x + 7 = 19$ d) $5x - 8 = 22$
Corrigé rédigé :
a) $3x = 16 + 5 = 21 \implies x = 21/3 = \mathbf{7}$.
b) $4x = -12 \implies x = -12/4 = \mathbf{-3}$.
c) $-2x = 19 - 7 = 12 \implies x = 12/(-2) = \mathbf{-6}$.
d) $5x = 22 + 8 = 30 \implies x = 30/5 = \mathbf{6}$.
Ex 2 Équations avec Inconnues des Deux Côtés $ax + b = cx + d$
Calculer (REA)Résolvez les 2 équations suivantes en regroupant les $x$ à gauche :
a) $5x + 4 = 2x + 19$ b) $7x - 3 = 4x + 15$
Corrigé rédigé :
a) $5x - 2x = 19 - 4 \implies 3x = 15 \implies x = \mathbf{5}$.
b) $7x - 4x = 15 + 3 \implies 3x = 18 \implies x = \mathbf{6}$.
Ex 3 Facturation de Serrurier (Problème Métier)
Modéliser (MOD)Un serrurier facture un forfait déplacement de 45 € plus 35 € par heure d'intervention. La facture totale s'élève à 185 €.
1. Écrivez l'équation correspondante.
2. Calculez la durée $x$ de l'intervention en heures.
Corrigé rédigé :
1. Équation : $35x + 45 = 185$.
2. $35x = 185 - 45 = 140 \implies x = 140/35 = \mathbf{4\text{ heures}}$.
Ex 4 Égalité de Périmètres de Figures Géométriques
Chercher (CHER)Un carré a un côté de longueur $(x + 2)$ et un triangle équilatéral a un côté de longueur $(x + 5)$.
Pour quelle valeur de $x$ ces deux figures ont-elles exactement le même périmètre ?
Corrigé rédigé :
• Périmètre carré : $4(x + 2) = 4x + 8$.
• Périmètre triangle : $3(x + 5) = 3x + 15$.
• Équation : $4x + 8 = 3x + 15 \implies 4x - 3x = 15 - 8 \implies \mathbf{x = 7}$.
Ex 5 Test de Solutions
Valider (VAL)Le nombre $x = 3$ est-il solution de l'équation $4x - 5 = 2x + 1$ ? Justifiez par un calcul séparé du membre de gauche et de droite.
Corrigé rédigé :
• Membre gauche pour $x=3$ : $4 \times 3 - 5 = 12 - 5 = 7$.
• Membre droit pour $x=3$ : $2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
Les deux membres sont égaux ($7 = 7$), donc **$x = 3$ est bien solution**.
Ex 6 Équation Produit Nul $(2x - 6)(3x + 12) = 0$
Représenter (REG)Résolvez l'équation produit nul $(2x - 6)(3x + 12) = 0$ et donnez ses deux solutions.
Corrigé rédigé :
• 1er facteur : $2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = \mathbf{3}$.
• 2ème facteur : $3x + 12 = 0 \implies 3x = -12 \implies x = \mathbf{-4}$.
Les solutions sont **$x = 3$ et $x = -4$**.
Ex 7 Budget d'un Traiteur
Calculer (REA)Un traiteur facture 12 € par menu plus 150 € d'installation du matériel. Une entreprise dispose d'un budget de 630 €.
Combien de menus peut-elle commander ?
Corrigé rédigé :
• Équation : $12x + 150 = 630$.
• $12x = 630 - 150 = 480 \implies x = 480/12 = \mathbf{40\text{ menus}}$.
Ex 8 Analyse d'Erreur d'Élève
Communiquer (COM)Un élève a écrit : "Pour résoudre $4x + 8 = 20$, j'ai fait $4x = 28$ donc $x = 7$."
Expliquez son erreur et donnez le calcul correct.
Corrigé rédigé :
• Erreur : Il a ajouté 8 au lieu de soustraire 8 !
• Calcul correct : $4x = 20 - 8 = 12 \implies x = 12/4 = \mathbf{3}$.
Ex 9 Dimension d'un Terrain d'Atelier
Modéliser (MOD)Un terrain rectangulaire a une longueur de $25\text{ m}$ et un périmètre de $80\text{ m}$.
Posez une équation pour calculer la largeur $x$ de ce terrain.
Corrigé rédigé :
• Périmètre : $2 \times 25 + 2x = 80 \implies 50 + 2x = 80$.
• $2x = 80 - 50 = 30 \implies x = 30/2 = \mathbf{15\text{ mètres}}$.
Ex 10 Problème Complexe DNB PRO : Choix de Location d'Utilitaire
Valider & Synthétiser (VAL)Pour un déménagement, deux agences proposent des utilitaires :
• **Agence A :** Fixe de $50\text{ €}$ + $0,40\text{ €/km}$.
• **Agence B :** Fixe de $80\text{ €}$ + $0,25\text{ €/km}$.
1. Écrivez l'équation du nombre de km $x$ pour lequel les 2 agences coûtent le même prix.
2. Résolvez cette équation.
3. Quelle agence choisir si l'on parcourt $300\text{ km}$ ?
Corrigé rédigé :
1. Équation : $0,40x + 50 = 0,25x + 80$.
2. $0,40x - 0,25x = 80 - 50 \implies 0,15x = 30 \implies x = 30/0,15 = \mathbf{200\text{ km}}$.
3. Pour $300\text{ km}$ ($> 200$), l'**Agence B est plus avantageuse** (155 € vs 170 € pour A).