Activités d'Investigation

Investigation Autonome Élève 3ème Prépa-Métiers

Activités : Découverte des Équations du 1er Degré

Modélisez des situations d'équilibre de balances, comparez des tarifs de sous-traitance et découvrez les équations produit nul !

Module 0 • Test de Positionnement

Vérification des Calculs à Trou

Trouvez la valeur manquante $x$ dans chaque égalité :

1. Si $x + 7 = 15$, combien vaut $x$ ?

2. Si $3x = 21$, combien vaut $x$ ?

Activité 1 • Investigation Élève

À vous de calculer : Équilibre d'une Balance $ax + b = c$

Dans un atelier de pesée, une balance Roberval est en **parfait équilibre** :
• Plateau de gauche : 3 paquets identiques de masse $x$ et un poids de $15\text{ kg}$.
• Plateau de droite : une masse totale de $60\text{ kg}$.

Étape 1 : Saisissez la masse d'un seul paquet

Écrivez l'équation $3x + 15 = 60$ et calculez la masse inconnue $x$ d'un paquet :

1. Masse des 3 paquets ($60 - 15$) :

2. Masse d'un seul paquet $x$ ($45 / 3$) :

Visualisation Graphique : La Balance Algebrique en Équilibre ($3x + 15 = 60$)

Ce qu'on a découvert (Bilan Activité 1)

Pour résoudre une équation du type $ax + b = c$ :
1. On soustrait $b$ des deux côtés : $ax = c - b$.
2. On divise par $a$ des deux côtés : $x = \frac{c - b}{a}$.
Ici : $3x + 15 = 60 \implies 3x = 45 \implies x = 15\text{ kg}$.

Activité 2 • Investigation Élève

À vous de calculer : Équation $ax + b = cx + d$

Un chef d'entreprise hésite entre deux prestataires d'entretien pour $x$ heures d'intervention :
• Prestataire A : Tarif $y_A = 20x + 100$ ($20\text{ €/h}$ + $100\text{ €}$ d'installation).
• Prestataire B : Tarif $y_B = 30x + 40$ ($30\text{ €/h}$ + $40\text{ €}$ d'installation).

Étape 1 : Calculez le nombre d'heures $x$ pour lequel les 2 tarifs sont égaux

Posez l'égalité $20x + 100 = 30x + 40$ et isolez $x$ :

1. Regroupez les $x$ ($30x - 20x$) :

2. Solution $x$ en heures :

Visualisation Graphique : Point d'Égalité des Deux Tarifs ($x = 6\text{ h}$)

Ce qu'on a découvert (Bilan Activité 2)

Pour résoudre $20x + 100 = 30x + 40$ :
1. Regrouper les termes en $x$ d'un côté : $100 - 40 = 30x - 20x$.
2. Obtenir $10x = 60 \implies x = 6\text{ heures}$.
Pour 6h d'intervention, les deux tarifs coûtent exactement **220 €**.

Activité 3 • Investigation Élève

À vous de calculer : L'Équation Produit Nul $(2x - 8)(x + 5) = 0$

Règle fondamentale : Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des deux facteurs est nul.

Étape 1 : Calculez les 2 solutions de l'équation $(2x - 8)(x + 5) = 0$

1. Solution du 1er facteur ($2x - 8 = 0$) :

2. Solution du 2ème facteur ($x + 5 = 0$) :

Visualisation Graphique : Dédoublement des Solutions d'une Équation Produit Nul

Ce qu'on a découvert (Bilan Activité 3)

Une équation produit nul $(ax + b)(cx + d) = 0$ possède **deux solutions distinctes** :
• Soit $ax + b = 0 \implies x = -b/a$.
• Soit $cx + d = 0 \implies x = -d/c$.
Les deux solutions de $(2x - 8)(x + 5) = 0$ sont **$x = 4$ et $x = -5$**.