Fiche de Cours : Équations du 1er Degré & Résolution de Problèmes
Règles d'isoler l'inconnue $x$, méthode de transfert des termes, équations produit nul et démarche en 4 étapes pour les problèmes professionnels.
Vocabulaire & Équations Élémentaires
Définition d'une Équation
Une équation est une égalité comportant une lettre appelée inconnue (généralement $x$).
• Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie.
• Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.
Schéma Visuel 1 : Modèle de la Balance Algébrique en Équilibre ($x + 8 = 20$)
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Achats de Fournitures de Chantier)
Énoncé : Un artisan achète un sac de ciment à $12\text{ €}$ et 4 brosses identiques. La facture totale est de $44\text{ €}$. Quel est le prix $x$ d'une brosse ?
Corrigé rédigé :
Équation : $4x + 12 = 44 \implies 4x = 44 - 12 = 32 \implies x = \frac{32}{4} = \mathbf{8\text{ €}}$.
Méthode Générale de Résolution : $ax + b = cx + d$
Règle de Transfert des Termes
Pour résoudre $ax + b = cx + d$ :
1. Regrouper les termes en $x$ du même côté de l'égalité en changeant leur signe ($+cx \to -cx$).
2. Regrouper les nombres connus de l'autre côté ($+b \to -b$).
3. Diviser par le coefficient de $x$.
Schéma Visuel 2 : Règle du Changement de Signe lors du Passage de l'Égalité
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Comparaison de Tarifs de Transport)
Énoncé : Résolvez $5x + 30 = 2x + 120$.
Corrigé rédigé :
$5x - 2x = 120 - 30 \implies 3x = 90 \implies x = \frac{90}{3} = \mathbf{30}$.
Équations Produit Nul $(ax+b)(cx+d) = 0$
Propriété du Produit Nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul : $$(ax + b)(cx + d) = 0 \iff ax + b = 0 \quad \text{ou} \quad cx + d = 0$$ Cette équation admet toujours deux solutions.
Schéma Visuel 3 : Arborescence de Résolution de $(3x - 12)(2x + 10) = 0$
Résolution de Problèmes Concrets en 4 Étapes
Choix de l'inconnue $x$
Définir clairement la grandeur recherchée (ex: "Soit $x$ le nombre de repas").
Mise en équation
Traduire l'énoncé sous forme d'une égalité : $12x + 35 = 275$.
Résolution
Isoler $x$ : $12x = 240 \implies x = 240/12 = 20$.
Conclusion & Vérification
Vérifier $12(20)+35=275$ et conclure par une phrase.
Exemple Métier Rédigé selon les 4 Étapes (Budget de Traiteur d'Entreprise)
Énoncé : Un chef de chantier commande des repas pour son équipe. Le traiteur facture 35 € de frais de livraison fixes et 12 € par repas. La facture totale est de 275 €. Combien de repas ont été commandés ?
Corrigé rédigé selon les 4 étapes :
- Étape 1 (Inconnue) : Soit $x$ le nombre de repas commandés ($x \ge 0$).
- Étape 2 (Mise en équation) : $12 \times x + 35 = 275 \iff \mathbf{12x + 35 = 275}$.
- Étape 3 (Résolution) :
$12x = 275 - 35 = 240 \implies x = \frac{240}{12} = \mathbf{20}$. - Étape 4 (Vérification & Conclusion) :
• Vérification : $12 \times 20 + 35 = 240 + 35 = 275\text{ €}$ (Correct !).
• Conclusion : Le chef de chantier a commandé 20 repas.