TD : 10 Exercices sur la Divisibilité & les Nombres Premiers
Ex 1 Application des Critères de Divisibilité
Calculer (REA)Pour chacun des nombres suivants : 342 ; 515 ; 630 ; 729,
Déterminez s'ils sont divisibles par 2, 3, 5, 9 ou 10 en justifiant avec la règle officielle.
Corrigé rédigé :
• 342 : Finit par 2 (divisible par 2). Somme 3+4+2 = 9 (divisible par 3 et 9).
• 515 : Finit par 5 (divisible par 5).
• 630 : Finit par 0 (divisible par 2, 5 et 10). Somme 6+3+0 = 9 (divisible par 3 et 9).
• 729 : Somme 7+2+9 = 18 (divisible par 3 et 9).
Ex 2 Décomposition en Facteurs Premiers de 120 et 180
Calculer (REA)Décomposez les nombres 120 et 180 en produit de facteurs premiers sous forme de puissances.
Corrigé rédigé :
• $120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2^3 \times 3 \times 5$.
• $180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.
Ex 3 Conditionnement de Bonbons en Confiserie
Modéliser (MOD)Un artisan confiseur fabrique 252 caramels. Il veut faire des sachets contenant tous le même nombre de caramels sans reste.
Peut-il faire des sachets de 6 caramels ? De 9 caramels ? De 10 caramels ? Justifiez.
Corrigé rédigé :
• Sachets de 6 : 252 est pair (divisible par 2) et 2+5+2=9 (divisible par 3) $\implies$ Oui ($252 / 6 = 42$).
• Sachets de 9 : Somme 2+5+2=9 $\implies$ Oui ($252 / 9 = 28$).
• Sachets de 10 : Finit par 2 (non par 0) $\implies$ Non (reste 2).
Ex 4 Synchronisation de Gyrophares de Chantier
Chercher (CHER)Sur un chantier, le gyrophare A clignote toutes les 12 secondes et le gyrophare B toutes les 18 secondes. Ils clignotent ensemble à 08h00.
Au bout de combien de secondes clignoteront-ils à nouveau simultanément pour la première fois ?
Corrigé rédigé :
• Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48...
• Multiples de 18 : 18, 36, 54...
Le plus petit multiple commun est 36 secondes.
Ex 5 Simplification Irréductible de Fraction
Valider (VAL)En utilisant la décomposition en facteurs premiers, simplifiez la fraction $\frac{84}{126}$ pour la rendre irréductible.
Corrigé rédigé :
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.
$$\frac{84}{126} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 3 \times 7} = \mathbf{\frac{2}{3}}$$
Ex 6 Arbre de Décomposition de $300$
Représenter (REG)Construisez l'arbre de décomposition en facteurs premiers du nombre $300$ et donnez le résultat sous forme de puissances.
Corrigé rédigé :
$300 = 2 \times 150 = 2 \times 2 \times 75 = 2 \times 2 \times 3 \times 25 = 2^2 \times 3 \times 5^2$.
Ex 7 Traiteur : Constitution de Corbeilles de Fruits
Calculer (REA)Un traiteur dispose de 360 fraises et 240 kiwis. Il veut faire le plus grand nombre de corbeilles identiques en utilisant tous les fruits.
Combien de corbeilles peut-il réaliser et quelle sera la composition de chaque corbeille ?
Corrigé rédigé :
• PGCD(360, 240) = 120.
Il réalise 120 corbeilles identiques.
Chaque corbeille contient 3 fraises ($360/120$) et 2 kiwis ($240/120$).
Ex 8 Test de Primalité
Communiquer (COM)Indiquez si les nombres suivants sont premiers ou non, en justifiant : 87 ; 91 ; 101.
Corrigé rédigé :
• 87 : Non premier (8+7=15, divisible par 3 : $87 = 3 \times 29$).
• 91 : Non premier ($91 = 7 \times 13$).
• 101 : Premier (non divisible par 2, 3, 5, 7, 11).
Ex 9 Découpe de Plaque Métallique Industrielle
Modéliser (MOD)Un chaudronnier découpe une plaque de métal de $110\text{ cm}$ sur $88\text{ cm}$ en carrés identiques les plus grands possibles sans chute.
Quelle est la longueur du côté d'un carré et combien de carrés obtient-il ?
Corrigé rédigé :
$110 = 2 \times 5 \times 11$ et $88 = 2^3 \times 11$.
PGCD(110, 88) = $2 \times 11 = 22\text{ cm}$.
Nombre de carrés : $(110/22) \times (88/22) = 5 \times 4 = \mathbf{20\text{ carrés}}$.
Ex 10 Problème Complexe DNB PRO : Colisage d'un Événement d'Entreprise
Valider & Synthétiser (VAL)Pour un séminaire, un responsable prépare des coffrets cadeaux contenant 420 stylos et 315 carnets.
1. Décomposez 420 et 315 en facteurs premiers.
2. Déterminez le nombre maximal de coffrets identiques réalisables sans aucun reste.
3. Donnez la composition exacte de chaque coffret.
Corrigé rédigé :
1. $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$ et $315 = 3^2 \times 5 \times 7$.
2. PGCD(420, 315) = $3 \times 5 \times 7 = \mathbf{105\text{ coffrets}}$.
3. Chaque coffret contient 4 stylos ($420/105$) et 3 carnets ($315/105$).