Fiche de Cours : Arithmétique, Divisibilité & Facteurs Premiers
Définitions officielles, critères de divisibilité, crible des nombres premiers, décomposition en facteurs premiers et simplification irréductible de fractions.
Division Euclidienne & Notions de Diviseur / Multiple
Définitions & Égalité Euclidienne
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier $a$ (dividende) par un entier non nul $b$ (diviseur), c'est trouver deux entiers $q$ (quotient) et $r$ (reste) tels que :
$$a = b \times q + r \quad \text{avec } 0 \le r < b$$
• Si le reste est nul ($r = 0$), on dit que $a$ est divisible par $b$.
• $b$ est un diviseur de $a$, et $a$ est un multiple de $b$.
Schéma Visuel 1 : Anatomie de la Division Euclidienne
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Conditionnement de Pièces en Carton)
Énoncé : Un préparateur de commande en entrepôt doit emballer $250$ roulements à billes dans des cartons de $24$ pièces.
1. Combien de cartons complets peut-il remplir ?
2. Combien de pièces restent en surplus ?
Corrigé rédigé :
$250 = 24 \times 10 + 10$.
1. Il remplit 10 cartons complets.
2. Il reste 10 pièces non emballées (car le reste $r=10$).
Les 5 Critères de Divisibilité à Connaître
| Divisible par... | Règle officielle de divisibilité | Exemple concret |
|---|---|---|
| Par 2 | Le nombre se termine par un chiffre pair : 0, 2, 4, 6, 8. | 1 458 est divisible par 2 (finit par 8). |
| Par 5 | Le nombre se termine par 0 ou 5. | 3 745 est divisible par 5 (finit par 5). |
| Par 10 | Le nombre se termine par 0. | 9 230 est divisible par 10 (finit par 0). |
| Par 3 | La somme de ses chiffres est un multiple de 3. | 423 : 4+2+3 = 9 (multiple de 3). |
| Par 9 | La somme de ses chiffres est un multiple de 9. | 2 835 : 2+8+3+5 = 18 (multiple de 9). |
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Contrôle Qualité Lot de Fabrication)
Énoncé : Un lot comporte $1\,365$ pièces. Peut-on le partager en 3 séries ou 5 séries exactement sans reste ?
Corrigé rédigé :
• Somme des chiffres : $1 + 3 + 6 + 5 = 15$ (divisible par 3) $\implies$ Partage en 3 possible.
• Le chiffre des unités est 5 $\implies$ Partage en 5 possible.
Nombres Premiers & Liste Officielle $< 30$
Définition d'un Nombre Premier
Un nombre premier est un nombre entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts : 1 et lui-même.
• Remarque importante : 1 n'est pas un nombre premier (il n'a qu'un seul diviseur).
• Remarque importante : 2 est le seul nombre premier pair.
Schéma Visuel 2 : La Liste des 10 Nombres Premiers $< 30$
Décomposition en Facteurs Premiers & Fractions Irréductibles
Théorème de Décomposition Unique
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 non premier se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers.
Exemple : $180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.
Schéma Visuel 3 : Arbre de Décomposition Complet de $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$
Exemple Métier Rédigé Pas à Pas (Simplification de Ratio de Peinture)
Énoncé : En carrosserie, on prépare un mélange de $\frac{84}{126}$ de diluant. Simplifiez cette fraction pour la rendre irréductible.
Corrigé rédigé :
1. Décompositions : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.
2. Simplification : $\frac{84}{126} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 3 \times 7} = \mathbf{\frac{2}{3}}$.
Simulateur & Calculateur de Décomposition Arithmétique
• Statut : Composé
• Décomposition : 2³ × 3² × 5
• Liste des diviseurs : 1, 2, 3, 4, 5...