TD : 10 Exercices de Fonctions Corrigés
Exercices sur les calculs d'images, antécédents, étude de variations et applications aux 3 fonctions usuelles (Affine, Carré, Inverse).
Soit la fonction $f(x) = -2x^2 + 5x + 3$ définie sur $mathbb{R}$.
1. Calculer l'image de 0, puis l'image de 4 par la fonction $f$.
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• $f(0) = -2(0)^2 + 5(0) + 3 = mathbf{3}$.
• $f(4) = -2(4)^2 + 5(4) + 3 = -32 + 20 + 3 = mathbf{-9}$.
Soit la fonction $g(x) = x^2$ définie sur $mathbb{R}$.
Trouver les antécédents éventuels de 49, puis de $-16$.
Consulter les corrigés rédigés
• Antécédents de 49 : On cherche $x$ tel que $x^2 = 49 implies mathbf{x = 7 ext{ et } x = -7}$.
• Antécédents de $-16$ : Un carré est toujours positif ou nul en réels, donc $-16$ n'a **aucun antécédent**.
Soit $h(x) = rac{1}{x}$ sur $mathbb{R}^*$.
Calculer $h(0,5)$, $h(-4)$ et résoudre $h(x) = 5$.
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• $h(0,5) = rac{1}{0,5} = mathbf{2}$.
• $h(-4) = rac{1}{-4} = mathbf{-0,25}$.
• $h(x) = 5 implies rac{1}{x} = 5 implies mathbf{x = rac{1}{5} = 0,2}$.
Sur un banc d'essai, la puissance $P(v)$ d'un moteur en chevaux dépend de la vitesse de rotation $v$ en milliers de tr/min selon : $P(v) = -10v^2 + 80v$.
Déterminer le régime de rotation $v$ qui procure la puissance maximale du moteur et donner cette puissance.
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La parabole a ses branches tournées vers le bas ($a = -10 < 0$).
Le sommet est à $v = 4$ (4000 tr/min).
Puissance max : $P(4) = -10(4)^2 + 80(4) = -160 + 320 = mathbf{160 ext{ ch}}$.