TD : 10 Exercices de Surfaçage, Cubage & Conversions
Ex 1 Conversions de surface BTP (Peinture de Façade)
Calculer (REA)Un peintre en bâtiment doit recouvrir une façade rectangulaire de $L = 9\text{ m}$ et $h = 5\text{ m}$. Un pot de peinture couvre $30\,000\text{ cm}^2$ par couche.
1. Calculez l'aire de la façade en $\text{m}^2$.
2. Convertissez la surface du pot de peinture en $\text{m}^2$.
3. Combien de pots de peinture faut-il prévoir pour appliquer 1 couche ?
Corrigé rédigé :
1. $\text{Aire} = 9 \times 5 = 45\text{ m}^2$.
2. $30\,000\text{ cm}^2 = 3\text{ m}^2$.
3. $\text{Nombre de pots} = \frac{45}{3} = 15\text{ pots}$.
Ex 2 Citerne de Récupération d'Eau de Pluie
Calculer (REA)Une cuve parallélépipédique a pour dimensions : longueur $2,5\text{ m}$, largeur $1,2\text{ m}$ et hauteur $1\text{ m}$.
1. Calculez le volume de la cuve en $\text{m}^3$.
2. Convertissez ce volume en $\text{dm}^3$ puis en Litres ($\text{L}$).
Corrigé rédigé :
1. $V = 2,5 \times 1,2 \times 1 = 3\text{ m}^3$.
2. $3\text{ m}^3 = 3\,000\text{ dm}^3 = 3\,000\text{ Litres}$.
Ex 3 Aire d'un Terrain de Sport Triangulaire
Modéliser (MOD)Un terrain de jeu a la forme d'un triangle de base $b = 40\text{ m}$ et de hauteur $h = 25\text{ m}$. On souhaite semer de l'herbe ($1\text{ kg}$ pour $50\text{ m}^2$).
1. Calculez l'aire du terrain en $\text{m}^2$.
2. Déterminez la masse de graines nécessaires en $\text{kg}$.
Corrigé rédigé :
1. $\text{Aire} = \frac{40 \times 25}{2} = 500\text{ m}^2$.
2. $\text{Masse} = \frac{500}{50} = 10\text{ kg}$.
Ex 4 Cubage et Coût de Remplissage d'une Piscine
Chercher (CHER)Une piscine privée a pour dimensions $L = 8\text{ m}$, $l = 4\text{ m}$ et profondeur moyenne $h = 1,5\text{ m}$. L'eau municipale coûte $4\text{ €}$ le $\text{m}^3$.
1. Calculez le volume d'eau en $\text{m}^3$ puis en Litres ($\text{L}$).
2. Calculez le coût total de remplissage de la piscine.
Corrigé rédigé :
1. $V = 8 \times 4 \times 1,5 = 48\text{ m}^3 = 48\,000\text{ Litres}$.
2. $\text{Coût} = 48 \times 4 = 192\text{ €}$.
Ex 5 Validation : Débordement d'un Récipient
Valider (VAL)Un technicien verse $600\text{ mL}$ de produit chimique dans un récipient cubique d'arête $a = 8\text{ cm}$.
Le récipient va-t-il déborder ? Justifiez par un calcul rigoureux de volume en $\text{cm}^3$.
Corrigé rédigé :
Volume récipient $= 8^3 = 512\text{ cm}^3 = 512\text{ mL}$.
Comme $600\text{ mL} > 512\text{ mL}$, le récipient va déborder de $88\text{ mL}$.
Ex 6 Cylindre de Stockage Agricole (Silo à Grains)
Représenter (REG)Un silo à grains cylindrique a un rayon $R = 2\text{ m}$ et une hauteur $h = 6\text{ m}$.
1. Calculez le volume du silo en $\text{m}^3$ (arrondi au dixième).
2. Convertissez ce volume en Hectolitres ($\text{hL}$). ($1\text{ m}^3 = 10\text{ hL}$).
Corrigé rédigé :
1. $V = \pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi \approx 75,4\text{ m}^3$.
2. $75,4\text{ m}^3 = 754\text{ hL}$.
Ex 7 Pyramide à Base Carrée (Architecture)
Calculer (REA)Une structure d'entrée de hall d'exposition a la forme d'une pyramide à base carrée de côté $c = 12\text{ m}$ et de hauteur $h = 9\text{ m}$.
1. Calculez l'aire de la base carrée en $\text{m}^2$.
2. Calculez le volume d'air intérieur de la pyramide en $\text{m}^3$.
Corrigé rédigé :
1. $\text{Aire Base} = 12^2 = 144\text{ m}^2$.
2. $V = \frac{144 \times 9}{3} = 432\text{ m}^3$.
Ex 8 Comparaison de Cubage de Colis Logistiques
Communiquer (COM)Un préparateur de commande compare deux cartons de transport :
• Carton A : cube de $30\text{ cm}$ de côté.
• Carton B : pavé de $50\text{ cm} \times 20\text{ cm} \times 25\text{ cm}$.
Quel carton offre le plus grand volume utile ? Justifiez par deux calculs de volume en $\text{cm}^3$ puis en Litres.
Corrigé rédigé :
• $V_A = 30^3 = 27\,000\text{ cm}^3 = 27\text{ Litres}$.
• $V_B = 50 \times 20 \times 25 = 25\,000\text{ cm}^3 = 25\text{ Litres}$.
Le Carton A offre le plus grand volume ($27\text{ L} > 25\text{ L}$).
Ex 9 Volume et Masse d'une Sphère en Acier
Modéliser (MOD)Une bille en acier de roulement à billes a un rayon $R = 3\text{ cm}$. La masse volumique de l'acier est $7,8\text{ g/cm}^3$.
1. Calculez le volume de la bille en $\text{cm}^3$ (arrondi au dixième). ($V = \frac{4}{3} \pi R^3$).
2. Calculez la masse de la bille en grammes.
Corrigé rédigé :
1. $V = \frac{4}{3} \pi \times 3^3 = 36\pi \approx 113,1\text{ cm}^3$.
2. $\text{Masse} = 113,1 \times 7,8 \approx 882,2\text{ g}$.
Ex 10 Problème Complexe DNB PRO : Réfection d'une Toiture Conique
Valider & Synthétiser (VAL)Un charpentier rénove la toiture en cône de révolution d'une tour médiévale de rayon $R = 4\text{ m}$ et de hauteur $h = 6\text{ m}$. Le volume du cône est $V = \frac{\pi R^2 h}{3}$. Les lattes de bois sont vendues par paquets couvrant $10\text{ m}^3$ de sous-toiture.
1. Calculez le volume intérieur du toit de la tour en $\text{m}^3$ (arrondi à l'unité).
2. Convertissez ce volume en Litres.
3. Combien de paquets de sous-toiture faut-il commander ?
Corrigé rédigé :
1. $V = \frac{\pi \times 4^2 \times 6}{3} = 32\pi \approx 101\text{ m}^3$.
2. $101\text{ m}^3 = 101\,000\text{ Litres}$.
3. $\text{Nombre de paquets} = \frac{101}{10} = 10,1 \implies 11\text{ paquets}$.